Mathematics
國中
已解決
(3)③の解説を詳しくお願いします。
解答例は画像の通りです。
【問 4】 各問いに答えなさい。
8
点を動かしたり、図形の大きさを変えたりすることができる数学の作図ソフトがある。桜さんは、その
作図ソフトを使って、次の作図の手順に従って図1をかき、点Pを線分AB上で,点Aから点Bの向きに
動かしたときの図形を観察した。
〔作図の手順〕
① 長さが6cm の線分ABを直径と
する円0をかく。
図1
② 線分AB上に点Pをとる。ただし,
点Pは点A,Bと重ならないものと
A
する。
2 P
EO
3点Bを中心として, 線分 BPを
半径とする円Bをかく。
6
④円0円Bの交点をそれぞれ C,
Dとする。
D
6点Cと点D を結び, 線分AB と
線分 CD の交点をEとする。
⑥ 点Cと3点 A, P, B をそれぞれ
結ぶ。
4
o
半径
B
EA (8)
THA
なお、「点P を線分AB上のどこにとっても、線分AB と線分 CD は垂直に交わる。」
このことは,(1)~(4)の解答において、証明せずに用いてよい。
(8)
(3) 桜さんは,作図ソフトで何度も点Pを
線分AB 上で動かしているうちに、次の
2つのことが成り立つのではないかと
予想を立てた。
〔予想〕
。
図3
C
C
C
A
B
OPE
点P を線分AB上のどこにとっても
△ABC と △CBE は相似である。
線分 CP は ∠ACE を二等分する。
桜さんの予想は、図3を用いて,次のようにそれぞれ証明することができる。
[予想①の証明〕
[予想②の証明〕
AABC = ACBE C,
あ だから, ∠ACB = 90°
あ
だから, ∠ACB = 90°
AB ⊥ CD だから,
∠CEB = 90°
∠ACB= ∠ACP + ∠PCB より
∠ACP =90° ∠PCB
-
...①
よって, ∠ACB = ∠CEB
…①
AB + CD だから, CPEは
∠CEP = 90°の直角三角形であり、
∠PCE = 90°- ∠CPE
う
い
よって, ∠PCB = ∠
え
① ② ③より, ∠ACP = ∠PCE
(3)
したがって, 線分 CP は ∠ACE を二等分する。
①
あ
に当てはまる, ∠ACB=90°の根拠となることがらを書きなさい。 ただし、予想の
証明の あ と予想②の証明の
あ には共通なことがらが入る。
②
い に証明の続きを書き、予想の証明を完成させなさい。
え
には最も適切な角を
③予想②の証明において,うには③の根拠となることがらを、
記号を用いて,それぞれ書きなさい。
3
(例)
BCとBP は円 B の半径なので,
う BC = BP である。
ABCP において、
2つの辺が等しいので,
△BCP は二等辺三角形である。
え
(ㄥ) CPE
解答
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