Question

数学頑張りたい！

幾何学の問いです。
大学の課題で、他の問題とあわせて頑張って解いたのですが、画像の問題(大問2の(1)と大問5の(2))を再提出するようにと言われました。
それぞれ赤線部分と赤い矢印の部分を示すように言われたのですが、どうにも解き方が分かりません。
大学と言っても授業はなく、指定のテキストにも詳しい記載がない為、独学でやるしかなく、かなり困っています。
どうか模範解答をご教授頂けませんでしょうか。

[2] 次を証明せよ。
(1) x, y ЄQ, x<yrЄR-Q, x < r < y
2 (1)
x<ry のとき、
x+y
2
=rならばreQとなる
しかし x+y
-=rならば、reR-Qとなる
√2
よって、xigeQのとき、xyならばxくryとなる無理数が存在する
ixgeQx<yareR-Q,xcreyは示せた。

[5]
次の集合X,Yについて。 XとYは対等 (集合の濃度が同じ) であるか。
・対等である場合には対等であることを示すような全単射写像fXYの例を1つ挙げよ。 その写像が全単
射であることも証明すること。
.
・対等でない場合には X, Yの濃度を述べよ。その濃度であることの証明もすること。
(1) X = {ncQkZ-{0},n=1
Y = {n ∈ Nj3m N,n=3m}
(2)X = {ncZ-10<< 20}、 Y = {y∈R-2<y < 0}
(3) X= {∈RO≦x<5)、
⑤ (2) 対等ではない
Y = {y ∈ IR-1000 <y≦2}
X={-9-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
Xの濃度は29.
Yは無限集合であり、濃度はRの濃度と同じ2
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Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

簡単にですがヒントを。
②(1)は(x+y)/√2が無理数であることを言いましょう。
⑤については対等の定義からYからRへの全単射が構成できることをいいましょう。

数学頑張りたい！

ご助言ありがとうございます！そして返信が遅くなってしまい申し訳ありません💦
頂いたヒントを元に改めて解きました！これであってますでしょうか？( > <。)

sin theta

一つ目は問題なさそうです。後半の写像は全単射になっていません。y=-π/2では定義されないからです。
f(y)=tan(π/2×(y+2)/2)などとすると条件を満たします。

数学頑張りたい！

本当にありがとうございます！1つ目はいけそうなんですね、とても困っていたので助かりました……！
2つ目はこうでしょうか？基本的な所で間違えてしまい本当にすいません(>_< ;)

sin theta

これで問題ないと思います。

数学頑張りたい！

本当にありがとうございます！指定のテキストではどうしようもなかったので参考書を3冊追加で買ったのですが、それでも太刀打ち出来ず、本当に困ってたんです！
解けるまで色々とご助言を頂き、本当の本当にありがとうございました！！