Question

ランドルト環

この問いの｛3）を解いてください､､､
答えも解説もございます。
△CFOを求める過程で△AFDを求めたいのですが、
私は高さ＝半径の3㎝を用いて求めようとしました。ですが解説と解き方が違い、答えも合っていませんでした。なぜでしょうか

[問題]
右の図のように,円0の周上に4点 A, B, C, D がこ
の順にあり、線分BDは円 0 の直径で, AB=2√5cm,
AD=4cmである。 2点C, Oを通る直線が線分AB と交わ
その交点をEとし, AEC=90° とする。 また, 線分
E
F
D
AC と線分 BD との交点をFとする。このとき,次の各問
いに答えよ。
(1) 線分 BD の長さを求めよ。
(2) OF FD を最も簡単な整数の比で表せ。
(3) △OCFの面積を求めよ。
(京都府) (***)
[解答欄]
(1)
[ヒント]
B
cm
4cm
F
D
915
(3)
C

[解答] (1) 6cm (2)34 (3)
9√5
cm²
14
[解説]
(1) 直角三角形ABD で, 三平方の定理より、
BD=√AB2+AD^2=V(2√5) +42=√20+16=√36=6(cm)
(2) AD // OC なので, 平行線の性質より,
OF: FD=OC: AD=3:4
(OCは半径なので, OC=3cm)
(3) まず, △AFD の面積を計算し、次に, 相似比→面積比によ
って,△OCFの面積を算出する。
(2)より, OF: FD=3:4なので,
FD=ODx-
4
=
4
3x-
==
12
(cm)
7 7
3+4
92
4cm
cm
F
B
6cm
C
D

△AFD の底辺をFD, △ABD の底辺を BD とすると, 高さは共通なので,面積比は底辺の
比になる。 したがって,
12
(△AFD の面積): (△ABDの面積)=FD:BD=
=
:6=2:7
7
1
2
(△ABDの面積) XABXAD =1/2x2v5x
2√5×4=4√5(cm2)
よって、(△AFD の面積)=(△ABDの面積)×2=4√5× 2 8√5
=
(cm2)
7 7
7
△OCF と△AFD の相似比は OF : FD=3:4なので,面積比は32:42=9:16 である。
よって、 (△OCFの面積)=(△AFD の面積)×
9 8√5 9
9√5
=
16
7 16
14
(cm2)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

なゆた

AOとBDが垂直ではないから。

ランドルト環

そのような決まりがあったのですか､､､
なぜ二等辺三角形ではないと、垂直に交わらないのですか？

なゆた

逆説的かもしれませんが
これで納得いただければ…。

ODもOAも半径だから長さが等しくなる
→△ODAは二等辺三角形

OBもOAも半径だから長さが等しくなる
→△OBAも二等辺三角形

BDは直径だから180°
つまり∠BOA=∠DOA=90°

2辺とその間の角が等しいから
△AOD≡△AOB

合同な三角形の対応する角は等しいから
∠ADO=∠ABO=45°

よって△ABDは∠BAD=90°の
直角二等辺三角形である。

ランドルト環

なるほど、
点Aが紛らわしい所にいるのがややこしいのでしょうか？
写真みたいにAをずらして考えてみると、辺AGが直径だ！と言ってるのと同じという事ですよね？

なゆた

>点Aが紛らわしい所にいるのがややこしい
そうですね

>写真みたいにAをずらして考えてみる

とAGが△AFDの高さになるけれど
明らかに半径とは違うので
高さが3ではない
というのが明確になりますね

AGの長さを求める手段がないので
解答のように面積比を使った流れになる
ということのようです。

ランドルト環

ありがとうございました！🙇‍♀️