★★☆☆
特講
例題
121 ガウス記号を含む方程式
次の方程式を解け。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。
(1)[2x] = 3
(2) [3x-1] = 2x
(3) [2x]-[x] = 3
★★★☆
(1),(2)はガウス記号が1つ [x]=nのとき n≦x<n+1 として外す
fic Action ガウス記号は,n≦x<n+1 のとき [x] = n として外せ 例題120
(3)はガウス記号が2つ
場合に分ける
[x] =>
-1
[2x]
48217=2
幅1ごとに値が変わる
一般にこの部分で考えてみる
3
1
2
n
4/1/2n+1
幅 ごとに値が変わる
(ア)(イ)
思考プロセス
3
2章 2次関数と2次不等式
(1)[2x] =3より,3≦2x <4であるから
32
(2)[3x-1] = 2x. ① より, 2x は整数である。
①より 2x3x-1 <2x+1
≦x<2
。
これを解くと 1≦x<2
4
22x4 であり, 2x は整数より
2x=2,3
3
よって x=1,
2
(3) [2x]-[x] = 3
・② とする。
方程式の解は,不等式で
表される範囲になる。
[3x-1] は整数である
から 2xも整数になる。
2x3x-1 より
x≧1
|3x-1<2x+1 より
x<2
(ア) n≦x<n+ 1/2(nは整数)のとき
2n≦2x<2n+1 であるから
[2x] = 2n
また,[x] = n であるから,②は2n-n=3
よって n=3
ゆえに 3≦x<
x</
xを幅 1/2で場合分けす
る。
(イ) n+
12/2≦x<n+1(nは整数)のとき
2n+1≦2x<2n+2 であるから
[2x]=2n+1
また,[x] = nであるから,②は (2n+1)=3
よって
n=2
5
ゆえに
≦x<3
2
5
(ア)(イ)より
≤x<
2
2
121 次の方程式を解け。ただし、[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(1) [3x] =1 (2) 2x=[√5] (3) [2x+1]=3x (4) [3x]-[x]=1
217
222
