第1問
R3を3次元実列ベクトル全体の集合, I 3×3 を3×3 の実行列全体の集合とする. 1, 12, 73 ∈
R3は一次独立な単位長ベクトル, 4∈R3は n1, 2, ng と平行でない単位長ベクトルとす
る.また,正方行列 A, B を
4
A=
-
2
B = Σnin
T
\\n-n
i=1
とする.ここで, XT, æT はそれぞれ行列 Xの転置行列とベクトルæの転置ベクトルを表
す。 以下の問いに答えよ。
(1)Aの階数が3となるような 4 に関する条件を求めよ.
(2) 3次元ユークリッド空間において以下の3つの条件を満たす4つの平面 II = {æ ∈
R3 | new - d = 0} (d は実数, i = 1, 2, 3, 4) を考える (i) A の階数は3であ
る, (ii) Ω = {æ ∈R3 | new-d≥0, i = 1, 2, 3, 4} が空集合ではない, (iii) II
(i = 1, 2, 3, 4)に接する球C (⊂ Ω) が存在する. このときCの中心の位置ベクト
ルをベクトルuER を用いて A-1u の形で表す. d (i = 1, 2, 3, 4)を用いてuを
表せ.
(3) B が正定値対称行列であることを示せ.
(4)4つの平面 {æ∈R3|nex-d=0} (dは実数, i = 1, 2, 3, 4) への距離の2乗和が
最小となる点P を考える. Pの位置ベクトルをベクトルver を用いて B-1 の形
で表す. ni, di (i = 1, 2, 3, 4) を用いて”を表せ.
(5)13において点 Qi (位置ベクトルをER3とする)を通りに平行な直線をんとす
る(i = 1, 2, 3). 任意の点R (位置ベクトルをy∈ とする) をんに直交射影した
点を R; とする.R の位置ベクトルを行列 Wi∈ R 3×3 を用いて y - Wi(y-æž) と表
す. I∈IR 3×3 を単位行列とする.
(a) と I を用いて W を表せ.
(b) WWWż を示せ.
=
(c)平面Σ = {ER3 | afx = b} を考える (a∈3は非零ベクトル, b は実数).
点SE∑はL, Iz, 13 への距離の2乗和を最小にする点である.n1, n2, n3 が互
いに直交するとき,Sの位置ベクトルをベクトルw∈3 を用いて
aa
ab
I -
w+
T
ara
の形で表す.ただし, は a,bには依存しないものとする. w を Wi, πi (i =
1, 2, 3) を用いて表せ.
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