Question

りゅう

（ 1）
絶対値xの範囲はどうやって決めたのですか？
おそらくg （x）である分母の部分は絶対に０になってはいけないから０にならんように範囲を取っている。
でもその場合，なぜ開区間（０，π）だけでいいんですか？開区間（π，2π）でもg '（x）≠0【ロピタルの定理の【2】参照】を満たすからいいと考えていたんですが…

教えて欲しいです🙏

13 ロピタルの定理
分析でてきたら⇒ロピタル
10563
ロピタルの定理
開いて、
0-(1-5) mil
基本 例題 057 不定形 (号)の極限①
★★☆
以下の極限値を, ロピタルの定理を用いて求めよ。
mil
(1−cosx)sinx
-0
(1) lim
ex-1-x
sinhx-x
x0 x−sinx
(2) lim
(3) lim
x→0
x-0 sinx-x
指針
0
fin
mil
いずれも の不定形の極限である。
f'(x)
gix). I g'ix)
0-(x-xdnie) mil (E)
定理 ロピタルの定理
αを含む開区間I上で定義された関数f(x), g(x) が微分可能で,次の条件を満たすとする。
[1] limf(x)=limg(x)=0
x→a
x-a
[2] xキαであるI上のすべての点xでg'(x) ≠0
'(x.doia)
f'(x)
[3] 極限 lim
が存在する。
x-a
g'(x)
f(x)
このとき, 極限 lim
x-a
g(x)
x-a
も存在し lim -=lim
ig(x)
x-a g'(x)
f(x)
f'(x)
が成り立つ。
mil
x0
0<|x| <πにおいて
{(1-cos x)sinx}'
lim
lim
......
【不定形の極限が現れる場合, f" (x), g" (x), f'(x), g" (x), が存在して定理の条件を満
たすならば,ロピタルの定理は繰り返し用いてよい。
詳しくは 「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分」 の112~119ページを参照。
解答 (1) lim{(1-cosx)sinx}=0 かつ lim(x-sinx)=0
x→0
mil=
nia-
(x−sinx)=1-cosx+0
sinx+cosx−cos x
drianil
[1] の確認。
mil
[2]の確認。
x→0
(x−sinx)
x→0
1−cosx
0800-
N
Fox)
cosx-cos 2x
=lim
①
1−cosx
x0
cos"x-sin'x=cos2x
-zag()
mil
ここで
ここでLim(cosx-cos2x)=0 かつ lim (1-cosx) = 0
[1]の確認。
x→0
x→0
もう一度 0<x<πにおいて
(1−cosx)=sinx=0
[2] の確認。
ロピタルの
選ぼう!
また lim
a
x0
(cosx-cos 2x)'
(1-cos x)'
2sin2x−sinx
=lim
x→0
sinx
[3] の確認。
=lim (4cosx-1)=3
x-0
よって,ロピタルの定理により, ①の極限値も存在して3
(1−cosx)sinx
に等しいから
lim
x-sinx
x-0
-=3
4sin2x=2sin x cosx
(2) lim (ex-1-x)=0 かつ limx2=0
x→0
x-0
x=0において
(x2)'=2x=0
[1]の確認。
[2] の確認。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

というよりここでは周期2πの周期関数(三角関数)を考えており、その１周期分としてもってきてます。
リミットを考える時に０の両側から近づけることを考えたいのでこのように取ってきてます。

りゅう

なるほど！ありがとうございます😊