Question

@#$&

請問為什麼要使用均方根速度，而不直接用平均速度就好？還有這兩個的大小關係是什麼？謝謝。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

動能公式 K = ½mv²
總動能 Σ K = ½m(v₁² + v₂² + v₃² + ⋯ + vₙ²)
平均動能 K̅ = (1/n)[ ½m(v₁² + v₂² + v₃² + ⋯ + vₙ²) ]
= ½m · (v₁² + v₂² + v₃² + ⋯ + vₙ²)/n
若令 vᵣₘₛ = √[ (v₁² + v₂² + v₃² + ⋯ + vₙ²)/n ]
則公式可改寫為 K̅ = ½m vᵣₘₛ²

而平均數不等式指出
√[ (a₁²+a₂²+a₃²+⋯+aₙ²)/n ] ≥ (a₁+a₂+a₃+⋯+aₙ)/n
(平方平均數 ≥ 算術平均數)
等號成立的條件是 a₁ = a₂ = a₃ = ⋯ = aₙ

所以 vᵣₘₛ ≥ v̅
等號成立條件是，所有粒子的速率皆相同

@#$&

好，那請問為什麼要用均方根速度而不用比較直觀的平均速度就好了？

qn

因為用方均根速率可以有效的簡化公式

如果要用平均速率取代方均根速率
由於 nv̅ = v₁ + v₂ + v₃ + ⋯ + vₙ
兩邊平方得 n²v̅² = (v₁ + v₂ + v₃ + ⋯ + vₙ)²
⇒ n²v̅² = (v₁² + v₂² + v₃² + ⋯ + vₙ²)
+ 2(v₁v₂ + v₁v₃ + ⋯ + vₙ₋₁vₙ)
⇒ n²v̅² = nvᵣₘₛ² + 2(v₁v₂ + v₁v₃ + ⋯ + vₙ₋₁vₙ)
而 (v₁v₂ + v₁v₃ + ⋯ + vₙ₋₁vₙ) 無法表示成 v̅ 的式子
因此可以將平均動能公式改寫成
K̅ = ½m[nv̅² - 2(v₁v₂ + v₁v₃ + ⋯ + vₙ₋₁vₙ)/n]

@#$&

謝謝你