Question

ショパン

微分方程式の問題です。写真の問題のうち、（4）だけ文字を使っていて解き方がわかりません。わかる方いらっしゃいますか？

問題2
以下の未知関数y (x) に関する微分方程式の一般解を求めよ. ただし a,b,cは定数とする. な
お,導出の過程も書くこと.
(1)y" =4y, (2) y" + 4y'+3y = 0, (3) y" + 4y'+4y = 0, (4) ay" + 2by' + cy = 0.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

ショパン様
(4) ay''+2by'+cy=0　…①
(ⅰ)a≠0のとき
　①の両辺を÷a して
　y''+(2b/a)y+(c/a)y=0
　特性方程式は
　t²+(2b/a)t+(c/a)=0
　｛t+(b/a)｝²=(b²-ac)/a²　…②　←平方完成です
(ア) b²-ac>0のとき
　②より　t=-(b/a)±√(b²-ac)/|a|　←√a²=|a|
　∴t=｛-b±√(b²-ac)｝/a　←第2項に「±」があるので|a|の場合分けは不要
　よって、一般解は
　y=C1 exp［(｛-b+√(b²-ac)｝/a｝x］+C2 exp［-｛-b-√(b²-ac)｝/a｝x］
∴y=C1 exp［(｛-b+√(b²-ac)｝/a｝x］+C2 exp［｛b+√(b²-ac)｝/a｝x］
(イ) b²-ac=0のとき
　②より　｛t+(b/a)｝²=0
　∴t=-b/a (2重解)
　よって、一般解は
　y=(C1x+C2) exp［(-b/a)x］
(ウ) b²-ac<0のとき
　②より特性解は　t=(-b/a)±i √(ac-b²)/|a|
　∴t=(-b/a)±i (√(ac-b²)/a) 　←実部と虚部に分けます
　よって、一般解は
　y=exp［(-b/a)x］(C1cos｛√(ac-b²)/a｝x+C2sin｛√(ac-b²)/a｝x)
(ⅱ)a=0のとき
　①より　2by'+cy=0
(エ)b≠0のとき
　y'=(-c/2b)y
　これは変数分離形の微分方程式だから
　y'/y=(-c/2b)
　∴log|y|=(-c/2b)x+D　(D:積分定数)
　∴y=±exp［(-c/2b)x+D］
　∴y=A exp［(-c/2b)x］　←±exp［D］=Aとおいた
(オ)b=0のとき
　①は　cy=0　…③
(A)c≠0のとき
　③÷cより　y=0
(B)c=0のとき
　③は　0y=0
　よって、yは任意のxの関数
以上から
a≠0,b²-ac>0のとき　y=C1 exp［(｛-b+√(b²-ac)｝/a｝x］+C2 exp［｛b+√(b²-ac)｝/a｝x］
a≠0,b²-ac=0のとき　y=(C1x+C2) exp［(-b/a)x］
a≠0,b²-ac<0のとき　y=exp［(-b/a)x］(C1cos｛√(ac-b²)/a｝x+C2sin｛√(ac-b²)/a｝x)
a=0,b≠0のとき　y=A exp［(-c/2b)x］　
a=b=0,c≠0のとき　y=0
a=b=c=0のとき　yは任意のxの関数　■