Question

ひきわり

行列の直交化についてです。
赤枠の部分に、なぜプラスマイナスがつくのかが分かりません。いつもならつかないと思います。
よろしくお願いします🙇

3 2次の実対称行列Aでつくった2次形式が次のように与えられたとする。
2 -2
'xAx=2x2-4xy +5y2
ここで, A=
x=
ECOP
-2 5
x-(3).
'x=(x_y) T
ある。このとき以下の設問に答えよ。
(1) A の固有値と固有ベクトル(正規化したもの)をすべて求めよ。
69 (2) (1)で求めた固有ベクトルを並べてつくった2次の正方行列P とその転置行列
' を使って 'PAP を計算せよ。
(3) ベクトルxに適当な1次変換を行い上記の2次形式を標準形に変換せよ。
<筑波大学第二学群・工学基礎学類〉

3 (1) A-tE|=
\0/
2-t
-2
-2 5-t
=(2-t) (5-t)-4=t2-7t+6
=(t-1)(t-6) よって, 固有値は,1と6
(i) 固有値1に対する固有ベクトル
1
=(2-2) -(-)
A-1 E=
4
(*)-(2a)-a (2) (ax0)
..
=
=a
よって, 正規化したものは、 土
湯 (?)
(ii) 固有値 6に対する固有ベクトル
1
-4
-
-2
1
A-6E=
2
-2
-1
00
X
y
2b
(x) = (20) = (-2)
よって, 正規化したものは、 ±
-b
(b=0)
5
土方 (2)
K
/ 2
1

数学 行列 直交化

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

ひとまず正規化(長さ1)にしているだけだからでしょうか。確かになぜマイナスも考えているのかは疑問ですが…

ひきわり

ですよね、、
普通はマイナスを考えないという解釈でよろしいのでしょうか？

sin theta

そうですね，(2)で問われていることは対称行列の直交対角化なので，マイナスを考える必要は特にないと思います。

ひきわり

ありがとうございます！