Question

ひきわり

増減表についてです。
赤枠で囲んだ部分のプラスマイナスを判定する良い方法を教えていただきたいです。
できれば簡単な方法でお願いします🤲

2
第1章
1変数の微分積分
例題1 (関数のグラフ, 数列)
x を非負の実数,r0r<1 を満たす実数とし, 関数f(x) を
f(x)=xr* と定義する。 このとき、 以下の問いに答えよ。
df
(1) f(x) の導関数 および第2次導関数
dx
d2f
dx2
を求めよ。
(2) f(x)の増減表を書き、関数y=f(x)のグラフの概形を描け。
(3) n を正の整数とし, 数列 {a} の一般項を an=f(n-1) により定義
する。このとき,初項から第n項までの和を求めよ。
<東北大学工学部〉
◆アドバイス!
(ax)' = a *loga
証明は簡単!
解答 (1) f(x)=xr* より
f'(x)=1·r*+x.r*logr= (xlogr+1)r*
・〔答〕
公式:
また
f" (x) = logror*+(x logr+1)*logr
= logr(xlogr+2)r* ・〔答〕
(2) f'(x) = (xlogr+1)*= 0 とすると
1
x=
(>0)
logr
f" (x) = logr(xlogr+2)*=0 とすると
x=-
2
logr
(>
logr
よって, 増減および凹凸は次のようになる。
x
f'(x)
f" (x)
1
2
(+8)
logr
logr
+
0
-
0
+
y=α とおくと
logy = loga
=x loga
両辺を微分すると
y
y'=loga
..y'=aloga
f" (x) 凹凸:
f" (x) ・f'(x) の変化
f" (x) > 0
接線の傾き
⇒接線の傾きが増加
グラフは下に凸
y=f(x)
したがって
(3)
an=
k=1
この
S=
SS
rs=
2
f(x)
0
rlogr
logr
2
2r logr
logr
(0)

増減表 数学

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Mike_teacher

簡単な方法かはわかりませんが、自分はグラフを考えて符号判断をしています。

ひきわり

ありがとうございます😭

Answer 2

わさび

logrは正の定数、
xlogr+2は単調増加、
r^xも単調増加、
このことから、2階微分した式も単調増加することがわかります

なのでf''(x)=0になるxより右はプラス、左はすべてマイナスと判定して良いとわかります。

ひきわり

その考え方だと一回微分のときも同じことになりませんか💦？

わさび

重要な条件を見逃してました！
0<r<1なので、logrはマイナスです

なので、logrはマイナスの定数
xlogr+2は単調減少
r^xは単調増加
なので左がマイナス、右がプラスですね

1階微分は、xlogr+1が単調減少なので、
左がプラス、右がマイナスになるということですね

ひきわり

ありがとうございます😭