✨ 最佳解答 ✨
ひきわり様
微分記号をまるで分数のように使いすぎです。
たとえば、2枚目の解答の2行目と3行目に
(d/du)・(dz/dx)=(d/dx)・(dx/du)・(dz/dx) …①
とありますが成り立ちません。仮に
z=z(x)=x , x=e^u
とすると
(①の左辺)=(d/du)・(1)=0
(①の右辺)=(d/dx)・(e^u)・(1)=(d/dx)・x・(1)=1
となり、①は成り立ちません。微分記号を分数のように扱うときは
(dy/dx)=(dy/dt) (dt/dx)
ぐらいにしておくとよいと思います。
さて、本問は微分方程式にz(t)の項がないことに着目します。
(解答)
z'(x)=y(x)とおくとz''(x)=y'(x)
∴x²y'+3xy=1 ←かんたんのため y(x)=y とおく
両辺にxをかけて
x³y'+3x²y=x
∴(x³y)'=x
両辺をxで積分すると
x³y=∫x dx=(x²/2)+C1
∴y=(1/2x)+C1 x⁻³ ← ÷x³ しました
∴z'(x)=(1/2x)+C1 x⁻³
したがって、
z(x)
=(1/2)logx - (1/2)C1x⁻²+C2
=(1/2)logx + (1/2)C1x⁻²+C2 ← - C1を改めて+C1とおく
=(1/2)｛logx+(C1/x²)｝+C2
ゆえに、
z(x)=(1/2)｛logx+(C1/x²)｝+C2 ■
でいかがでしょうか。
ひきわり様
もちろん、テキストのように解答できます！
ただ、ひきわり様の間違いは
① (d/dx) だけを分数のように扱っていること (この記号は単体では扱いません)
②「(d/dx)・」という表現を使っていること (この表現はどんな解析学のテキストにもありません)
③ (d/dx)(dx/du)・(dz/dx)=(d/dx)(dz/dx)・(dx/du) としていること (交換可能ではありません)
もう少し補足すると
① (dy/dx) または (d/dx)y または (d/dx)(y) のように使用します。 (d/dx) 単体での使用はありません。
② (d/dx)y はあっても (d/dx)・y という表現はありません。
③ ひきわり様の解答の2,3行目を訂正すると (d/du)(dz/dx)=(d/dx)(dz/dx)・(dx/du) が正しい式です。
この3点に留意して、もう一度テキストをご覧ください。テキストはこのルールを遵守しています。
あと、ひきわり様の解答のおわりから3行目の微分方程式
(d²z/du²)+2(dz/du)=1
は正しいのですが、そのあとが間違いです。正しくは、
補助方程式 (d²z/du²)+2(dz/du)=0 の特性方程式 t²+2t=0 の2解は t=0,-2
よって、余関数は C1+C2｛e^(-2u)｝ …(1)
また、特殊解を α(u)=u(Au+B) とすると A=0 , B=1/2
∴α(u)=(1/2)u …(2)
(1)(2)より
z(u)
=C1+C2｛e^(-2u)｝+(1/2)u
∴z(x)
=C1+C2｛e^(-2logx)｝+(1/2)logx (∵x=e^u ⇔ u=logx)
=C1+C2(1/x²)+(1/2)logx
∴z(x)=C1+C2(1/x²)+(1/2)logx ■
になります。私の答えは
z(x)=(1/2)｛logx+C1(1/x²)｝+C2 ■
でしたから、同じものです。
丁寧で的確なご指摘ありがとうございます😭
今後気をつけます！
この問題を解くときに一応、編入数学徹底研究に載っている以下の写真のページを真似てやってみたのですが、この写真のようなやり方はできないということでしょうか？