✨ 最佳解答 ✨
ちゃすこん様
［２］
（極限関数）
(ⅰ) x=0 のとき
fn(0)=0 ∴lim fn(0)=0
(ⅱ)0<x≦1のとき
与えられた x に対して十分大きな n を選べば
(1/n)<x で fn(x)=0 ∴lim fn(x)=0
(ⅰ)(ⅱ)より極限関数は f(x)=0 (0≦x≦1). ■
（一様収束性）
0≦x≦1におけるsupを考える。
sup│fn(x)-f(x)│=1≠0 ←fn(x) のグラフから fn(x) は x=1/2n のとき最大値 1 をとるから
よって、数列｛fn(x)｝は f(x) に一様収束しない。 ■
［３］
被積分関数を fn(x)、その極限関数を f(x) とおく。
lim fn(x)=（分母・分子を ÷n して）=x ∴f(x)=x
さらに fn(x)-f(x) を g(x) とおく。すなわち、
g(x)=nx/(√(n²+nx²)) - x
∴g'(x)=n³/｛(n²+nx²)√(n²+nx²)｝-1
<n³/｛(n²+0)√(n²+0)｝-1
=0
∴g'(x)≦0
よって、g(x)は単調減少関数であり、g(0)=0から
0≦x≦1において常にg(x)≦0であり、かつ、最小値はg(1)である。
∴lim sup│fn(x)-f(x)│
=lim sup│g(x)│
=lim│g(1)│
=lim(-g(1))
=lim(-n/√(n²+n)+1)
=lim(-1/√(1+(1/n))+1)
=0
よって、数列｛fn(x)｝はf(x)に一様収束する。
ゆえに、limと∫は交換可能であるから
（与式）=∫(lim fn(x))dx
=∫xdx
=［x²/2］
=1/2. ■
