378
@Y.H/NYP
重要 例題 250 曲線 x = f(y) と面積
(1) 曲線x=-y2+2y-2, y 軸, 2直線y=-1, y=2 で囲まれた図形の面積Sを
求めよ｡
(2) 曲線x=y'-3y と直線y=x で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
P.358 基本事項
指針
xはyの関数である。 x = f(y) のグラフと面積に関しては,xy
問題になる。
右のグラフから左のグラフを引くことになる。
解答
(1) x=-y2+2y-2=-(y-1)^-1
-1≦y≦2では(y-1)²−1 <0
であるから、 右の図より
=-S²,₁(-y²+2y-2)dy
(1) x=-(y-1)^-1であるから, グラフは,頂点が点(-1, 1), 軸が直線y=1の放物線
である。
(2) y-3y=yの解がα, B(a<B) のとき, p.352で学習した公式が同様に使える。
S'(-a)(y-8) dy=-12 (3-4)
=-[-²+²-2y]²₁
3
--{(-1/3+1-4)-(1/3+1+2)=6
(2) x=y²-3y=(y-2)²-2
曲線と直線の交点のy座標は,
y2-3y=y すなわち y²-4y=0
を解くと, y(y-4) = 0 から
y = 0, 4
よって、 右の図から, 求める面積は
I s=${y-(v2-3y)}dy
-S(vi-4y)dy=-Sy(v-4)dy
=-(-2)(4-0)³= 33²2
3
2
1
O
-1
4
練習
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
③250 (1) x=y-4y+6,y軸, y=-1, y=3
00000
x
x
定まる。
平面では左右の位置
2曲線間の面積
区間 c≦y≦d で常に
f(y)=g(y) のとき
2曲線x=f(y), x=g(y) と
2直線y=c, y=d で囲まれ
た図形の面積Sは
s="s(3)-(y) dy
ya
x=g(y),
\d
区分求積
積分法の導入によ
では、昔の人々は
を求めていたのであ
部分の面積Sを考え
0
S
右のグラフから左のグ
ラフを引く。
y軸はx=0であるから
(1) S_{o-f(x)}dy
(2) Sty-f(x)}dy
を計算することになる。
まず, 区間 0≦x
そして、 右の図
を作る。 各長方形
(2) x=9-y2,y=2x-3
+
1010
=1/(1)+
図からもわか
よりも大きいが
に近づくことか
実際に, 分割
次
yA
n=2L
S20
では,今
方形を作っ
分割数
T10
当然,
とnの値
この考え
横向きの2次関数は数3の範囲じゃ無いのですか？