Question

零音

3000 以下の自然数a, b がある。b＞a 。 この2数の最大公約数が337 で,最小公倍数が10110 であるとき, 自然数の値を求めよ。
この問題の解説お願いします。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mo1

参考・概略です

最大公約数が337(素数)である事から、

　互いに素である自然数{x，y}を用いて、

　　a＝337x、b＝337y　とします

　　　b＞a　より、y＞x

最小公倍数が10110である事から

　　337xy＝10110　で

　　　 xy＝30

{x，y}が互いに素で、y＞x であることから

　　{x，y}＝{1，30}，{2，15}，{3，10}，{5，6}

{a，b}が、3000以下で、a＝337x、b＝337y　より

　　　y＜3000/337＝8.902…≦8

よって、

　{x，y}＝{5，6}から、{a，b}＝{1685，2022}

零音

詳しい解説ほんとにありがとうございました

Answer 2

Seifert-van Kampen

337 は素数で， 10110=2×3×5×337

最大公約数が 337 であるから
a,b はともに 337 の倍数であり，かつ 337 以外に共通の素因数をもたない

最小公倍数が 2×3×5×337 であることと b>a から

(a, b)=(337, 2×3×5×337), (2×337, 3×5×337), (3×337, 2×5×337), (5×337, 2×3×337)
したがって
(a, b)=(337, 10110), (674, 5055), (1011, 3370), (1685, 2022)

Seifert-van Kampen

3000 以下っての見てなかったです
なので答えとしては
(a, b)=(1685, 2022) のみになります失礼しました