Question

いつき

微分積分学です
教えて欲しいです。

1. 次の関数 f(z,y) の,領域D = {(x,y) ∈ R2|x2+y2 ≤ 1}
x² y²
における最大値および最小値を求めよ.
(1) f(x, y) = 2x² − xy + 2y²
(2) f(x, y) = x³ + y²
2. 条件 2-xy+y=3の下での、関数 f(x,y)=x^2+y² の
最大値および最小値を求めよ.

Answer 1

豌豆

最大・最小問題、見た目にだまされるけどけっこう大変です。

１）まず、有界閉集合(コンパクト集合)上で連続な関数には最大値と最小値があります。まあ、答えを求めるだけなら気にしなくていいでしょう、たぶん。

２）最大値と最小値の候補は①定義域内部の極値か②境界上の最大値・最小値です。これらの候補を片っ端から調べ上げます。

３）極値の絞り込み(必要条件)は①微分＝０かつ②ヘッセ行列の固有値の符号で調べます。後者は他にも同値な条件があるので好みの方法でOKです。

４）条件付き最大・最小問題の場合は、ラグランジュの乗数法に頼ります。この方法を使うと、「極値ならば微分＝０」というふつうの条件に持ち込めます。あとは、この条件から同じように極値の候補を調べ上げます。

５）最後に、集めた候補を見比べて、最大値と最小値を決めれば終わりです。

豌豆

ちなみに、２番の問題は流れを読んでラグランジュの乗数法で解きましたが、そんなことしなくても、与えられた条件が楕円(を回転させたもの)なので、パラメタ表示して関数ｆに突っ込めば、１変数関数の最大・最小問題に成り下がります：
ｘ＝√３ cosθ－sinθ
ｙ＝√３ sinθ＋sinθ
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆ(θ)＝４(cosθ)^２＋２

豌豆

イメージしやすいよう、グラフの絵ものせておきますね。
赤･･･１番(１)
青･･･１番(２)
紫･･･２番

※２枚目でｙ＝√３ sinθ＋sinθは間違い、正しくはｙ＝√３ cosθ＋sinθでした💦