Question

おでん

線形代数の問題になります。
小問2、でnが2のとき赤マーカーのようになるそうです。なぜそうなるのでしょうか？分からないので教えてください。

次の正方行列 A = (ay)において, 6,0,0y=1(i=1,2,.., n) であ
るとき, 下の問に答えよ.
n2
(1) A の固有値の一つは1であることを示せ.
(2) B=A" (m は正の整数)とするとき, A が n = 2 の場合に対して, lim B
を求めよ。
m00

【解答】(1) 20y=1(i=1, …, m) であるから,
j=1
a₁1 + a12 +
a1+a2+
an
5300
an+anz+
+ann
Ann
すなわち, x=(1, 1, …, 1) ≠ 0 は Ax=xをみたす.ゆえに, 1がAの固有値で
ある.
(2) n=2のとき, A
の固有値を入とすると,
λ - (1 - a)
-b
すなわち,
bxy+ax2
P:
とおくと,
n
1 a
1
P-¹AP =
すなわち,
-b
-
0
tain
+ azn
-a
i-(1-b)
i = 1,1-a-b
(1)より, 1=1に対応する固有ベクトルは(1,1), i = 1-a-bに対応する固
有ベクトルを x = (x1, x2) とすると,
-b
-a
X1
[ = -d] [ ² ] = 0
-b
-a
X2
[1₁
A
a11 a12
0
01-a-b
a21 a22
ani anz
1-a a
= ¹(a, -b)
61-6
1
=
: (λ − 1) (λ − 1 + a + b) = 0
1
1
(0 < a < 1,0 < b < 1) 2 ts 3. A

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

n=2よりAは2×2正方行列となる。
仮定より各行(ここでは第１行と第２行)の成分の和は1である。
ここで固有値計算を踏まえて、成分を文字で上手く置いてあげてるわけです。

おでん

ありがとうございます！理解できました！