Question

Terpene

f(x)=X^2(logx)^3(x>0)の極値のみ。全てあげよという問題で　logx=0,-3/2というのは導き出せたのですが解答にlogx=0の前後ではf'(x)の符号は変わらない為極値ではない。と書いてあります。増減表を書こうとも思ったのですが上手くいきませんでした。上記の説明をお願いしたいです。

Answer 1

F

A.

logx = t
x = e^t
-∞ < t < +∞
f(x) ⇔ f(t) = t^3・e^(2t)
　f'(t) = 3t^2・e^(2t) + t^3・2e^(2t)
= t^2・e^(2t)(3 + 2t)

　ここで、t^2 > 0、e^(2t) > 0より、f'(t)はt = -3/2の前後で符号が「-」から「+」へ変化するため、f(t)はその値で極小値を持つ。

　よって、極小値は1つ存在し、
　　t = -3/2
⇔ logx = -3/2
⇔ x = e^(-3/2) より
f(e^(-3/2)) = ｛e^(-3/2)｝^2・(-3/2)^3
= -27/(8e^3)

Fin.