✨ 最佳解答 ✨
前回の回答が少しミスリーディングだったのですが、
そもそも2次元確率分布の各種の積分は、2次元平面上の領域における2重積分として定義されます。つまり定義の時点で逐次積分ではありません。
2重積分が逐次積分と等しい十分条件としてフビニの定理があるのはその通りです。だから
∬|(x-μX)(y-μY )|f(x,y)dxdy <+∞
であればいいです。
以下これの証明の概略
x,yからu,vにする。
∬|u||v|exp(~)du dv<∞ を示せばいい。以下積分範囲が書いていないものは2次元平面全体とする。
絶対値が嫌なので、-1≦u≦1かつ-1≦v≦1の長方形領域をDとすると
∬|u||v|exp(~)du dv
<∬[D]|u||v|exp(~)du dv + ∬[D以外]|u||v|exp(~)du dv
<∬[D]|u||v|exp(~)du dv + ∬[D以外] u^2 v^2 exp(~)du dv
<∬[D]|u||v|exp(~)du dv + ∬ u^2 v^2 exp(~)du dv
=有限値 + ∬ u^2 v^2 exp(~)du dv
よって∬ u^2 v^2 exp(~)du dv < ∞
を示せばいい。
被積分関数が非負だから、これは適当な逐次積分に置き換えても収束値は変わらない(トネリの定理)。
まずvで積分し、次にuの積分することにする。vの積分は
∫[-∞,∞] v^2 exp(-1/2 (v-ρu)^2) dv
=∫[-∞,∞] (x+ρu)^2 exp(-1/2 x^2) dv
=√(2π) (1+u^2 ρ^2) [ガウス積分の公式を用いた]
残りはuの積分で
∫[-∞,∞] u^2 (1+u^2 ρ^2) exp(-1/2(1-ρ^2)u^2)
これもガウス積分の公式を使えば、1-ρ^2>0 のとき有限値になる。
これで示せた。
回答ありがとうございます。
以下の理解であっていますでしょうか。
僕は重積分というのはいつでも逐次積分できるものだと思っていたので
∫∫f(x(u,v),y(u,v)) |J| dudvは
内側のu→外側のvの順番で逐次積分しなければならないと思っていましたが
現時点ではu→v,v→uいずれかの順で逐次積分できるかわからない単なる二重積分である。
もしかしたら逐次積分できない可能性がある。
また積分の順序交換可能というのは
∫_a^b dx (∫_c^d f(x,y)dy)=∫_c^d dy (∫_a^b f(x,y) dx)が成り立つ
すなわち
f(x,y)をy→xの順で積分したもの＝
f(x,y)をx→yの順で積分したもの
が成り立つときである。
絶対可積なら上のように順序交換が可能
(Fubini の定理)
今回の場合
∬|u||v|exp(~)du dv <+∞を言うことができればフビニの定理により逐次積分かのうになる。(つまりフビニの定理を使えば単なる重積分ではなくu→vでもv→uの順でも逐次積分可能になる)
領域Dを-1≦u≦1かつ-1≦v≦1の長方形領域としたとき
∬|u||v|exp(~)du dv
=∬[D]|u||v|exp(~)du dv + ∬[D以外]|u||v|exp(~)du dv
<∬[D]|u||v|exp(~)du dv + ∬[D以外] u^2 v^2 exp(~)du dv
<∬[D]|u||v|exp(~)du dv + ∬ [R^2]u^2 v^2 exp(~)du dv
=有限値 + ∬[R^2] u^2 v^2 exp(~)du dv
よって∬[R^2] u^2 v^2 exp(~)du dv < ∞
を言えばフビニの定理がつかえる。
しかし∬[R^2]u^2 v^2 exp(~)du dvの被積分関数は非負でありv→uの順で逐次積分すれば有限の値をとる。よってフビニ•トネリの定理より∬[R^2] u^2 v^2 exp(~)du dv=(v→uの順で逐次積分したものの有限値)となりフビニの定理が使えて逐次積分かのうとなり参考書の記述のようにv→uの順に逐次積分可能と言う理解で大丈夫でしょうか。
あってます
ありがとうございました。
∬|u||v|exp(~)du dv のあとの不等号は正しくは等号です。
ついでにガウス積分の公式
https://risalc.info/src/gaussian-integral.html