Question

いろはす

解き方を教えてください🙏

問題 1.S= {a+bv2+ cv3 | a, 6,c e Z} CRはRの部分環ではない。Sを含むようなRの部分環
をR以外で1つ求めよ。

Answer 1

鉄

Sがなぜ部分環でないのか考えると分かりやすいかもしれません。部分環であるためには次の三つを満たす必要があります。
(1)加法について閉じている(部分群である)こと
(2)乗法について閉じていること
(3)乗法単位元1を要素として持つこと
SがRの部分環として満たせていない条件は(2)のみですから、これを満たすように改良してあげればいいんですね。
具体的に、Sの要素どうしで掛け算をしてみると、√2、√3以外の無理数である√6が現れてしまうのが問題です。であるならば、Sの要素に√6の項を加えてしまえばいいんです。以下で定められるS'はRの部分環です。
S'={a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈Z}
(1)と(3)はほぼ自明なのでいいと思いますが、念のため(2)の証明としてa+b√2+c√3+d√6とa'+b'√2+c'√3+d'√6の積を求めて、S'に属するかどうか確かめてみてください。