Question

estj

下から2行目の
det(Pk Pk-1···P2 P1A)
=det(Pk)det(Pk-1)···det(P2)det(P1)det(A)
となるのが分かりません。基本行列の積から行列式にしたものは1つずつの行列式の積と値が一致するのでしょうか？

No.
Date
TAB|= |Al|B|の証明
Aが正則でない場合
|A1-0 であり、
ABも正でないため 1AB1-0
したがって
|AB|=1A1|B|-0
Aが正則の場合
正剣行列Pは基本行列の積で書けるから
正カ行到Aに、正貝り行列Pを左からかけると
IPA|- |R PeT AP, A| - |A||A-14…1211|A|- Iplla|
以上から 1AB|=1AL(B|

行列式 線形代数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

まず行列の基本変形とそれに伴うdetの変化についての性質を既知とします。
https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F#z1260090
これによって基本行列Pと任意の行列Aに関して
det(PA)=(detP)(detA)
が成り立ちます。
つまりdet(AB)=(detA)(detB)のAが基本行列の場合を示したことになります。
これを繰り返して用いています。

もし初めの事実を既知としない場合、このサイトのさらに上の方にあるような導出によってこれを示さなければなりません。

行列式

estj

画像の基本変形と行列式の関係で、Aが単位行列ならばあのような形にもっていけることは分かりました。具体的な行列を使って計算してみたところ確かに成り立つのですがAが単位行列じゃない場合でもあの関係は成り立つのでしょうか？
また、赤線のところではPは基本行列(上の関係が正しければPはなんであれ大丈夫そうですが…)ですがその場合も上の関係より成り立つということでしょうか？

※語彙力なくて申し訳ありません

Crystal Clear

URL先webサイトの3.3節の議論は3種すべての基本行列P(とすべての正方行列A)に対して
det(PA)=(detP)(detA)
が成り立つことを示しています。
例えば、Aのある行にcをかけると行列式がc倍になる、ことを数式で表すと
|Pi(c)A|=c|A|　for all A ①
特にA=Eの場合により、|Pi(c)|=c　②
これを①に代入すると
|Pi(c)A|=|Pi(c)||A|　for all A ③
となります。
②は|Pi(c)|を求めるために①でA=Eの場合の数式を利用しただけであって、③はすべてのAに対して成り立ちます。

赤線のPは３種の基本行列のいずれかを表しています。

estj

ありがとうございます。理解出来ました