41
-例題 1
ばね振子
ばね定数kのばねについて次の問いに答えよ。
(1) ばねに質量 mの質点を静かにぶら下げた.つり合いの位置におけるばねの
伸び 41 を求めよ.ただし重力加速度をgとする。
(2) (1)の位置からさらに下向きにaだけ引っ張って静かに手を放した. その後
の運動を求めよ。
【解答)
(1) ばねの復元力は -k4l であるから, 重力とのつり合いから,
kAl= mg
41=
mg
k
171
(2) つり合いの位置からのばねの伸びを x とすると,質点に働く力は
(ばねの復元力)+(重力) 3 ーk(41+x)+mng =-kx (: (1)
よって運動方程式は
kx
mi=-kx
=Vとおくと,これは単振動の運動方程式 (5.4)に一致する. よ
m
って,一般解は
2=Asin(ot +¢)
であり,初期条件は t=0 でx=a, v=0 であるから
(ただしA,¢は任意定数)
A sin p=a
Ao cos p=0
これより φ=/2, A=aとなり, 求める解は
k
x=a cos wt
ただし
の=
m
|k
ある. これは, 振幅 a,角振動数 ω=,
の単振動である。
m
自然長からずれた位置での振動も,つり合いの位置を原点にとれば, 松
【注意】
が楽になる. 本間の場合, 重力はつり合いの位置を決める役目しかしておらず, つ
合いの位置を原点に選べば重力は関係してこない.
復元力というのはどの場合でも-kΔlであらわされますか？