Question

m

三角形OAEと三角形ABDが合同になることの証明の仕方を教えてください🙏🙏

O
福島県
15図のような,円0がある。線分 AB は点Aにおける円0 の接線で, AB = OA である。s
分 OB と円周との交点を C, 点Bから線分 AC の延長上にひいた垂線と線分 AC の延長との
交点をDとする。また, Z A0CCの二等分線と線分 AC との交点をEとする。
このとき,あとの各問いに答えなさい。
o
8030
0
人の
E
A
B

三角形の合同条件 合同の証明 証明 図形の証明

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ブドウくん

まず、仮定として与えられているAB=OAは使うに決まっていますよね。そのまま他の辺に関して見てやると、これといった情報は得られないので、角の方で攻めるしかないですね。
ここで、△ABDが直角三角形であることに着目すれば、直角三角形の合同条件が使えるんじゃないかと気づけますね。△ABDに関して∠ADB=90度なので、対応する△OAEに関しても∠OEA=90度となるはずです。「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」という性質を使えばよいです。入試の観点から見ても、二等辺三角形が出てきたらこの性質を使う可能性が極めて高いし、頂角の二等分線が引かれていなくても補助線として引いてみるべきです。

あとは、他の一辺もしくは他の鋭角が等しいことを言えばよいですね。
まだ使ってない条件ってないかな？って考えたら、まだABが接線なことを使っていませんね。接線と言われたら、何か思いつきますか？高校生ならここで接弦定理という定理を使うでしょう。ですが、中学校の教科書的には習わない(難関高校の受験生なら塾等で習うかも)ので、別の方法で行きます。
中学校で接線と言われたら、3つ引き出しを持っていてほしいですが、そのうちの1つとして接線⊥半径がありますね。それを使えば
三角形ABDについて内角の和180度より
∠ABD=180-(90+∠DAB)=90-∠DAB
一方で、接線⊥半径から
∠OAE=90-∠DAB
となるので
∠ABD=∠OAEが示せます。

これで直角三角形の斜辺と一つの鋭角が等しく、合同が示せました。

m

分かりやすい解説ありがとうございました🙇

Answer 2

みと

★長いので、適当にまとめてください

△ＯＡＥと△ＡＢＤにおいて

(1)

　ＯＥは頂角の二等分線なので、【定理：二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直に二等分する】

　　　∠ＯＥＡ＝90°･･･　①

　仮定から(点Ｂから線分ＡＣの延長上に引いた垂線と線分ＡＣの延長との交点をＤとする)

　　　∠ＢＤＡ＝90°･･･　②

　①，②より

　　　∠ＯＥＡ＝∠ＢＤＡ＝90°･･･　③

(2)

　仮定から(ＡＢ＝ＯＡ)

　　　ＯＡ＝ＡＢ　･･･　④

(3)

　仮定から(線分ＡＢは点Ａにおける円Ｏの接線)

　　　∠ＯＡＢ＝90°･･･　⑤

　⑤と図の位置関係から

　　　∠ＯＡＥ＝∠ＯＡＢ－∠ＢＡＤ＝90－∠ＢＡＤ　･･･　⑥

　②と△ＡＢＤの内角の和を考えて

　　　∠ＡＢＤ＝180－∠ＢＤＡ－∠ＢＡＤ＝90－∠ＢＡＤ　･･･　⑦

　⑥，⑦より

　　　∠ＯＡＥ＝∠ＡＢＤ　･･･　⑧

(4)

　③，④，⑧　から

　　【直角三角形で、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しく】

　△ＯＡＥ≡△ＡＢＤ

m

答えとその解説詳しくありがとうございました🙇