●11 aOA+6OB+c0C=D0-
原点0を中心とする半径1の円周上にある3点A, B, Cが条件7OA+50B+30C=D0 を満た
すとき,次の問いに答えよ。
ト(1) ZBOCを求めよ。
(2) 直線 CO と直線 AB の交点をHとするとき, OH を OC を用いて表せ、
(3) AOHB の面積を求めよ。
(島根大·総合理工ー後/一部略)
a0A+60B+cOC=0 の使い方
0を中心とする半径1の円周上に A, B, Cがある……☆ という条件が効いてきて△ABC の形状が決
まる(O3では △ABCの形状は決まらない).☆, すなわちOA=OB=OC=1 を使うために
70A+50B=-30C などと変形(どれか一つを右辺に移項)して各辺の大きさの2乗を考える:
170A+50B|P=|-30C|P
○3のaPA+6PB+cPC=0 と同じ形であるが, この例題では,
: 49|OAP+70OA·OB +25|OB P=9|0C|P
700A-OB=-65
49+700A-OB+25=9
OA-OB=-13/14
これより OA と OB のなす角の大きさ(cos ZAOB=-13/14; OA=OB=1 に注意)が求められる。
(1)では,ZBOCを求めるので5OB +30C=-70A として各辺の大きさの2乗を計算する。
言解答
70A +50B +30C=
D0
(1)のより,50B+30C=-70A
: 150B+30CP=|-70AP
: 25|OB|P+30OB·OC +9|0C|P=49|OA|P
10A|=|OB|=|OC|=1だから,
0
1
1
A
B
1
OB-OC
2
25+30OB·OC+9=49
ニ
[O3と同じとらえ方をすると]
のの始点をCに書き直して,
OB-OC
1
ZBOC=60°
2'
よって cosZBOC=
7
lOB||OC|
CA+
15
15
CB
CO=
(2) Oより,
C
-CA +
5
-CB
12
12
OC=-
1
(70A+50B)
12
-(70A+50B)=-4·
ミー-
3
これのカッコ内が CH
0
)60°
m
wm が OH だから, OC=-4OH
B
つまり,CO=CH. この式の
A
H
120°
-oC
4
1
4
始点を0にすると OH=--oc
4
OH
が得られる。
(3)(1)より ZBOH=120°, (2)より OH= OC=
= となるので,
4
/3
V3
1
-OH·OB·sin120°:
11
24
AOHB=
2
16
