Question

なこ

緑のマーカー部分の変形でx1,x2がyについて表しているのにx^2で変形しているのがわからないです。
深読みせずそのままdy と積分区間だけを変えればいいということでしょうか。よろしくお願い致します。

看要 例題2TT y軸の周りの回転体の体積 (2)
451
のOのの
関数f(x)=sinx (0Sxsz) について,関数 y=f(x) のグラフとx軸で囲まれ
た部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vは,V=2x)。xf(x)dx
で与えられることを示せ。また,この体積を求めよ。
基本 276
指針>高校数学の範囲では、y=sinxをxについて解くことができない。そこで,立体の断面積
をつかみ、置換積分法 を利用して解く。
この立体をy軸に垂直な平面で切ったときの断面は、曲線y=sinxの
8章
40
(SxSxの部分を回転させた円)-(0Sxs号の部分を回転させた円)
種
解答
y=sinx (0SxSx)のグラフの0<xs -の部分のx座
y=sinx
(0S×ST)
標をxとし、今
KxSzの部分のx座標を xxとする。
2
このとき,体積Vは
V=ェ ー dy
T X
つれe!
決がしる
ここで,y=sinxから
積分区間の対応は
x」については[1].
については[2]
のようになる。よって
dycos x dx
V=
y
0
→ 1
y
0 → 1
0
T →
2
x
x
2
V=z
"coS.x dx-zxcos.x dx=-x\x"cos.x dx(«-=-(S+S)
ーπ
0
x' sinx-2xsinxdx)=2x\xf(x)dx
ニー
通にオご表くい
る
また V=2r), rsinxdx=2x(|-xcosx| +,cos.x dx)
"CoS X

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ウンウントリウム

x1、x2はそれぞれ0≦x≦π/2とπ/2≦x≦πを満たすようなx座標のことです。
積分変数をyからxに変換すれば、
元々x2を含む積分の積分区間は自動的にπ/2≦x≦πに、元々x1を含む積分の積分区間は0≦x≦π/2となるので、xと表記しても問題ありません。
なお、それぞれx2、x1のまま考えてもこれらは同じx座標ですので、xで積分すればx1、x2は消えます。
見当違いの解答かもしれないですが、、

なこ

御回答ありがとうございます！
よく理解出来ました！