Question

☆*°

ケーリーハミルトンです。(2)が何をしているのか良く分かりません。解説お願いします🙇‍♀️

164
-ケーリー-ハミルトン、
例題9.8
1
が満たす2次式を求めよ.
(1) 行列 A=
0 1
(2) A5 と A-1 を求めよ。
解答
(1) A の固有多項式は
C
-1
-1
|E- A|=
= (r - 1)?
0
C-1
であるから,ケーリー-ハミルトンの定理を用いると
(A-E)? = A° - 2A+1E=O
(2) = (r-1)P(z) + 1 において,
25
P(1) = lim P(a) =D lim
"-1-5
C→1
C→1 C ー
1
よって,
P(x) = (z - 1)Q(z) + P(1) = (z-1)Q(z) +5
したがって,
° = (r- 1)P(z) +1= (z-1)((z - 1)Q(z) +5) +1
= (r-1)°Q(z) +5(z-1) +1
ここに,Q(x) は3次の多項式である.よって,
A°= (A-E)°Q(A) + 5(A-E) +E=5A-4E=
15
0
さらに,(1) の結果から E=2A-A? = (2E-A)Aであるから,
1
A-1= 2E - A=
0
やa

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

寒

A⁵を求めます。
(1)の結果"(A-E)²=O"を利用すると楽に計算できそうです。先に結果だけ見ておくと、実際にA⁵は、
A⁵=(A-E)²Q(A)+5(A-E)+E⋯[*]
と表せるので、(A-E)²=Oより(A-E)²Q(A)=Oですから
A⁵=5(A-E)+E
と簡単な足し算だけで求めることができます。
つまり、[*]のように、A⁵を(A-E)²を用いて表すことができれば、A⁵が簡単に計算できるということです。
したがって、するべきことはA⁵を(A-E)²を用いて表す[*]の式を自分の手で導出することです。
A→x, E→1として考えても構造的には同じことですから、x⁵を(x-1)²を用いて表すことを考えます。
これには剰余計算を用います。
たとえば2x²+3x+2を2x+1を用いて表したければ、
商x+1と余り1を用いて、
2x²+3x+2=(2x+1)(x+1)+1
と表すことができますよね。
そういうことです。
(2)1行目x⁵=(x-1)P(x)+1
x⁵をx-1で割ったときの商をP(x)として表した式。
余りは剰余の定理よりR=1⁵
[※剰余の定理: f(x)をx-aで割った余りはR=f(a)]
P(x)をもう一度(x-1)で割って表せば(x-1)²が出てくる。P(x)をx-1で割ったときの商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-1)Q(x)+P(1)※注
[※注: 上と同様、剰余の定理より余りはP(1)
ちなみにP(1)は、x⁵=(x-1)P(x)+1をP(x)について解き、x→1とすれば求められる。]
P(x)の式をx⁵の式に代入すると、
x⁵=(x-1){(x-1)Q(x)+5}+1
=(x-1)²Q(x)+5(x-1)+1
となり、無事に(x-1)²を用いて表すことができた。
あとはx→A, 1→Eと戻してやって、(A-E)²=Oを利用する。

A⁻¹は逆行列の定義A⁻¹A=Eから求める。
(2E-A)A=EとA⁻¹A=Eを比較すれば、
A⁻¹=2E-Aであることがわかる。

☆*°

丁寧に回答頂きほんとにありがとうございます🙇‍♀️剰余の定理も記憶から消えようとしていたのでほんとに丁寧に書いて頂き助かりました！！しっかりと理解することができました。ユーザー名と写真変えてしまいましたが、受験の時から本当に丁寧に回答して頂きありがとうございます！！