Question

M

１つ目:3枚目の①のとこはなぜ1になるのですか？4を1でわったら、？
２つ目:②のとこでなぜnになるのかわかんないです。
1〜2nまでの合計を求めたくて、でも前の式でやったように偶数と奇数で分かれるから分けただけなのに、2nがnになるんですか？

であり,自然数nに対して bn+2- bn は4の倍数であるから, mを自然数として
第5回
第3問~第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。
第3問(選択問題) (配点 20)
ソ
セ
r2=
Y3=
タ
カ=
Y=
チ
等比数列{a,}の公比は正の実数であり, 数列{a,} は
ツ
Yam=
テ
Y2m-1=
=9, a,-az==72
a」
as
である。
であることがわかる。よって
公比は
イ
を満たすとする。数列 {a,} の初項は| ア
2m-1
シ
b2m-172m-1+ b2mrzm=| トナ
|2m-1
ニヌ
ス
次に,数列{b,}は
であるから
21
こ。
b,=1, bn+1 =46,+am (n=1, 2, 3, …)
ネ
|2n+1
シ
(n=1, 2, 3, …)とおくと
an
b。
ノ
|2n+1
ス
を満たすとする。ここで, Cn=-
=1
ハ
キ
オ
-Cn t
カ
ウ
Cn+1=
ク
である。
エ
に当てはまるものを,次の0~⑨のうちから一つずつ選
ハ
ネ
であるから
べ。ただし, 同じものを選んでもよい。
ケ
Cn=
サ
コ
17
19
13
0
60
17
11
である。よって
60
30
30
15
7
6
8
13
9
5
7
b,=
シ
ス
15
8
4
4
である。
(数学II·数学B第3問は次ページに続く。)
- 94 -
95 -
の
の
の

第5回
第3問
数 列
等比数列 (a.)の公比をr(>0) とする。
d3 -
=9
a」
a4-a2=72
より
4
=9
a」
a,rーar=72
- 等比数列の一般項
初項a, 公比rの等比数列 {a,} の
すなわち
一般項は
パ=9
a,=ar"-1
a,r(rパー1)=72
であるから,r=3(>0), a,=3 である. よって, 数列 {a,} の初項
は
3
公比は
であるから,一般項は
3
a,=3-3"-1=3"
である。
次に,数列{bn}は
「b=1
bn+1= 4b,+3" (n=D1, 2, 3, …)
a,=3".
を満たすから
bn+1
37+1
4.b。
1
のの両辺を3*+1 で割った。
3 3"
3
bn
(n=1, 2, 3, ……)とおくと
3"
となる.Cn=
C=
1
b.
3
であり
4
1
-Cn+
3
Cn+1=
3
である。さらに変形すると
漸化式
= (Cn+1)(n=D1,2, 3, …)
(カキ0,1
In=1, 2, 3,
Ca+1= pC,+q
公比が
となるから,数列 {c,+1} は初項が c,+1=
は
α= pa+q
の等比数列である. よって
を満たすaを用いて
3
n-1
Cn+1-Q=p(C,-a)
と変形できるから,数列 (c,-a}は公比
がpの等比数列であることがわかる。
Cn+1=
より
4
1
Cn=
3
- 91 -

である、これと b,=3"cn より
b,=
4
3
である。このことより
b,=4-3=1
b。=4°-3°=7
b。=4°-3°=37
b。=4-3*=175
であるから
Taはb。を4で割った余りである。
3
1
Y4=
1
Y2=
3
73=
である.ここで,自然数nに対して
ba+2- b,= 4"+2_3"+2_(4"-3")
nは自然数だから, 15·4"-1-2.3" は
= 4(15-4"-1-2-3")
より,bn+2-6, は4の倍数であるから
整数である。
a, b, pが整数(カ>0) のとき
「a-b がかで割り切れる」
→「(aをかで割った余り)
Yn+2=Tn
が成り立つ.よって, r,の値は1,3が周期的に現れるから, mを
自然数として
=(bをかで割った余り)」。
T2m-1=
1
Yom =
3
である。よって
b2m-172m-1+bemr2m
=(4m-1-3m-1).1+(4m-32m) 3
12m-1_(1+3·3).32m-1
=(1+4·3).4°
42m=4.42m-1, 32m =3·32m-1.
13
*42m-1
10
-32
2m-1
であるから
2)
42m-1=4.42(m-1) =4·16"-1,
2n
(62m-172m-1+ b2mr2m)
32m-1=3-32(m-1) =3-9"-1.
k=1
m=1
=2(13-4m-1_10-3m-1)
等比数列の和
m=1
初項 a, 公比r(+1)の等比数列
の初項から第n項までの和は
n
=1324-16"-1-1023-9"-1
m=1
m=1
4(16"-1)
3(9"-1)
9-1
a(r"-1)
r-1
= 13.
-10-
16-1
13
.. 42n+1 _5
15
*32n+1_
60
17
4
4.16"=4.42m-42n+1.
である。
ネ
には順に
3-9"=3-32"=32n+1.
ハ
O
が当てはまる。