✨ 最佳解答 ✨
点Bと点Mを通る円を描いていくと, 対角線ACと2点で交わる場合と1点で接する場合があることが分かるでしょう.
[作図跡を見ると, 円に着目するところまでは何となく分かっていたようですね. いい勘をしていると思います.]
2点で交わる場合, 交点の一つをP, もう一方をP'とし, 線分PP'上のある点をRとします.
ここで点Rは円周上あるいは内部にあるので∠BRM≧∠BPMであることが分かります.
なお不等式の等号はP, P', Rがすべて一致する場合で, このとき∠BPMが最大値をとることも分かります.
したがって方冪の定理から, AP^2=AM・AB=(2√3)*(4√3)=24. すなわちAP=2√6cmが求める長さです.
違いますよ。ソコだと∠MPBは60°です。∠MPB>60°になります。
気になるので60度になることを証明していただけますか？
おそらく岡田茂さんは勘違いしていると私は思います.
∠BPM=60°となる2点は簡単に構成することができます.
1つは(1)の∠AMP=90°となるときで, △AMP≡△BMP, △BCPが正三角形になる場合です. このときはAP=4cm.
もう1つはBからACへ垂線を下ろしその足がPのときです. このときは△ABC∽△BPCで△BPMが正三角形になっています. このときはAP=6cm.
4<2√6<6なので∠BPMが60°より大きいことは[最初の議論と合わせて考えると]直感的にも分かるのではないかと思います.
[こぼれ話]
この問題のそっくりさんは2010年の京都大学でも出題されています.
***
2⃣ xを正の整数とする. 座標平面上の3点A(0, 1), B(0, 2), P(x, x)をとり, △APBを考える.
xの値が変化するとき, ∠APBの最大値を求めよ.
***
高校で学んだことばかりに目が向いていると, 正弦定理か正接の加法定理を使って面倒な計算をする羽目になります.
[こういうところが実に京大らしい問題といえます. 問題文をシンプルに読み替えるとあっという間に解けます.]
P(x, x)がy=x上にある, すなわち∠AOP=∠BOP=45°であることを把握すれば, 本問と同じように解けます.
答えの最大値は45°になります. 復習も兼ねて考えてみるといいでしょう.
ありがとうございます！納得出来ました！中三の学年末でこれを出すなんて鬼畜だなw
なるほど！！ありがとうございます！