Question

ゲス

0を環Aの零元とした時環Aに対してAの零元は一意的に定まることの証明を教えて頂きたいです。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Tak

0と0'を零元とする。
このとき、

0 = a + (- a) = 0' (a ∈ A)

となるから、零元は一意である。

Tak

単位元の一意性も同じような感じでできますね。

ゲス

追加ですみません
負元の一意性の示し方も教えて頂きたいです。
ずっと悩んでいたのでよろしくお願いします。

Tak

a ∈ A の逆元を a', a''∈A とすると、

a' = a' + 0 = a' + (a + a'') = (a' + a) + a'' = 0 + a'' = a''

より従う。

Tak

この手の問題はパズル的なので、パズルを解く感じで考えればいいですよ。

ゲス

ありがとうございます。
参考にさせていただき、もう一度自分でも考えてみます。

Answer 2

哲治

環は加法に関して、加法群をなす。
環のゼロ元は加法の単位元なんで、群論の単位元の一意性の証明をそのまま適用すればいいだけのお話です。
参考資料をアップしておきます。
この演算を加法と読み替えればそのまま証明となりますので。

ゲス

ありがとうございます。参考にさせていただきます。