Question

ペンローズ

(1.4.3)と(1.4.5)の計算を教えてください

とは異質の解析法である。
1.4 両端を動かす拡張された変分
前節のハミルトンの原理では, 運動方程式を導くにあたって,両端を固定した変公
を行ったが,両端を固定せずに動かす拡張された変分を考えることにする。 すると
ラグランジュ方程式以外の力学的情報が作用積分から得られる(3).
作用積分の端点の時刻,t2を動かし, しかも,2 での変分 6q'(ti)と 6g'(to)
をも0としない一般的変分を考えよう.両端の近くでの g' の変分 6qは gi の関数形
自体の変分 5g ともの変分からの寄与の和となる;
6g'(t) = q°(t) +¢(t)6t, (i=D1~N),
ただし、P, Pの近傍以外の中間領域では g' の変分は ōg'(t) のみとする。
P
P。
P
dg
P,?
t」
も+ót
t2
図1.5 拡張された変分
この変分に対して6Jの変化は
rt2+6t2
6Jg = |dL(q+6q.g+6q.t) - |
ct2
ti+6t」
dtL(q,à,t)
ti

となる。これを変形して, 2次以上の微少量を無視すると
stz+ót2
L(q,4,t)dt
6.J1g
It2
ti+6t1
st2
dt {L (q+ dq,4+ ó4,t) - L(q.4,t)}
rt2
=L(92, 42,t2)6t2- L(q1,91っな)6t1 +6 | L(9.4.t)dt
Iti
祖ス 右辺第1,2項は積分領域が微小なので, Lの変数q'+óqなどを gとし
た前節の時間を止めた変分6はここの6と同じである.したがって, この式の最
終項は前節と同様に計算される。
g'(t) は時間tを止めた変分であるから,
る(t) =
dt
5g'(t)
が成り立つ、よって, 部分積分ができるので, (1.4.3) は
t2
SOL
8g
Te
。t2
d
OL
6Jg
= |L(q,4, t)ot +
0g
Sq°
dt (0g
ti
となる。これが拡張された変分の一般式である。
上式の第2項はラグランジュ方程式を用いると消えるので, 運動の経路c上では
t2
OL
6.J1gl。 =
Ogi
T0
Ogi
三
が成り立つ、ただし, 上式では (1.4.1) を用いた。
(1.4.6) は次のことを示している。 運動経路c上での作用積分の変分は, 積分の中
同限域には依存せず, 境界値のみで決まる。つまり, 5J[gleは積分可能であることを
小している。したがって, 作用積分の汎関数変分が積分可能であるための必要十分条
中は,その積分路上でラグランジュ方程式が成り立つことである。
そこで,
OL
OL
L) St
e(t) =
0gi
Oji
とおくと
6J1gl。 = e(t2) - e(h)
à -

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

端点を動かす変分もあるんですね。
物理としてあんまり理解できていませんが、計算は追えました。
よかったらこの本の詳細を教えて下さい。読んでみたいです。

変分法

ペンローズ

ありがとうございます！
こちらは菅野礼司先生の「ゲージ理論の解析力学」という本です。

Crystal Clear

ありがとうございます。

確か電磁場を量子化するときに、φとAのゲージ条件が束縛条件になっているゆえに量子化の過程が複雑になるって流れだった気がします。私はそこのところを理解していないので、これを読んだら勉強になりそうです。