Question

ゲス

y'=(1+x+x^2)-(2x+1)y+y^2
この微分方程式の解き方を教えて頂きたいです。
y=xが特殊解だということまではわかってます。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

リッカチの微分方程式です。
zに置換したあとは変数分離で解けます。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%81%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

リッカチの微分方程式

ゲス

そうするとz'=z^2-z+1になり変数は1つしか出てこなくなったのですがどうすれば良いのでしょうか？

Crystal Clear

正しく計算すると
z'=z^2-z
になります。
dz/dx=z(z-1)
これは変数分離の形で
∫1/(z(z-1))dz=∫dx
1/(z(z-1))=1/(z-1) - 1/z
と部分分数分解をして積分すればあとはできると思います。

ゲス

y=z+xとおきますよね？

Crystal Clear

そうです

ゲス

こういうことですか？

Crystal Clear

3から4行目が間違い。
e^(x+C)=e^C e^x
そのあと
±e^C=C'
と置くとよい

ゲス

こうですね？

Crystal Clear

e^xは定数ではありません。
多分、微分方程式の基本がまだ身に付いていないと思います。基本問題も含めてがんばってください。

ゲス

なるほど！もう一度やり直してみます。