Question

マティー

下の問題なんですが、上限と下限の答え自体は分かるんですが、実数の連続性やアルキメデスの公理を使った理由？が分かりません。どなたか詳しく教えて下さい！

問題 1. R の部分集合 4= Qn[-y2,+oo) の上限と下限を求めよ. ただし, 存在しない場合は,
存在しないと解答せよ. 上限・下限の特徴づけ (第 1 回レジュメ定理 2.9 およびその下限バージョ
ン) , 実数の連続性,アルキメデスの公理, および有理数全体がなす集合 Q が向密であること, す
なわち

Ve,とR(o <の),ヨ7とQi:o<9<

が成り立つことを使ってよい.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

上限は存在しない 下限は－√2ですよね？

マティー

下限って-1じゃないんですか？

哲治

違いますよ。－1.4とかも有理数だから当然にAに含まれるので

マティー

あーそうですね！
下限は-√2ですね！

哲治

だから下限が－√2の証明ですよね？

マティー

そうです！上限は自明って感じですか？

哲治

そもそも有理数自体が上界ないから当然にsupもないですよね。

哲治

下限の説明はこんな感じ

マティー

ありがとうございました！

哲治

少し補足すると-√2<uなる u∈Rを取ると-√2<q<uとなる有理数qが存在し、qは明らかにAの元となるのでuが下界であることに反するだから、-√2が最大の下界、つまりinfとなります。

マティー

ありがとうございます！
参考にさせていただきます！