Question

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名古屋市立大の数列の問題わかる方教えてください
年度が不明なので分かりません

g。 = u +=) G ーー =)…      -(1+  RM        =人  WW の  Co で定義される雪列 【g。) が
ある。            1①量火毅弁審

   

 

(1) qa gs をそれぞれ求めよ。
m+       MI
(2) 。lim -王一 ,
77つOo の

名古屋市立大学 数列 極限 大学入試

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

NEXTさま

解答してみました。
参考にしていただけましたら幸いです。

大学入試 数ⅲ 極限 区分求積

Answer 2

えだまめ🫛

1 + 1/n = (n+1)/n なので

a(n)
= (1+1/n)(1+2/n)…(1+n/n)

= (n+1)/n･(n+2)/n･…･(n+n)/n

= (n+1)(n+2)…(n+n)/nⁿ
(分子は n+1 から 2n までの順列なので)
= { (2n)!÷n! }/nⁿ

= (2n)! / (n!･nⁿ)

(1)
a(1)= (2･1)! / (1!･1¹) = 2/1 = 2
a(2)= (2･2)! / (2!･2²) = 24/(2･4) = 3
a(3)= (2･3)! / (3!･3³) = 6･5･4･3･2/(6･27) = 40/9

(2)
a(n+1)
= {2(n+1)}! / {(n+1)!･(n+1)ⁿ⁺¹}

= (2n+2)! / {(n+1)!･(n+1)ⁿ⁺¹}

= (2n)!･(2n+1)(2n+2) / {n!･(n+1)･(n+1)ⁿ⁺¹}

a(n+1) / a(n)
= (2n+1)(2n+2)･nⁿ / {(n+1)･(n+1)ⁿ⁺¹}

= (2n+1)･2(n+1)･nⁿ / {(n+1)･(n+1)ⁿ⁺¹}

= 2(2n+1)･nⁿ / (n+1)ⁿ⁺¹

= 2(2n+1)･nⁿ / {(n+1)(n+1)ⁿ}

= 2(2n+1)/(n+1) ･ nⁿ / (n+1)ⁿ

= (4n+2)/(n+1) ･ nⁿ / (n+1)ⁿ

= { 4 -2/(n+1)} ･ { n/(n+1) }ⁿ

= { 4 -2/(n+1)} ･ { 1 -1/(n+1) }ⁿ

n→∞ のとき
a(n+1) / a(n) → 4