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§ 整数問題: 不定方程式を解きたい
1²+ y² = 2², 3x+5y = 1
→代入する
→いかにうまく代入する数をさがすか?
・理論的(1,2)
知識(3,4,5 中級 16:上級)
1.等号の使い方
ア、一方から他方を導く。
例「左辺は~の倍数より右辺も~の倍数」
イ、左辺、右辺を別々に考察して矛盾を導く。(背理法)
7、例
A02B -0
7sc <
①で右辺は2の倍数だから、左辺も2の倍数
よって A=2mと表せて、①はAm=¥
3rd t'
TA
m=B-②
2nd 具体的表示
注 A
m
k
j
どんどん記号をかみくだいていく。
A=2m
m=kの述
=jの
A>m>k>j >
注昜の例
こ
の倍数
=余り~
(無限降下法)
←理法一例
nnは互いに素
n=Ra-1
-0 in+1=pf-②
素数 公約数をもつ
=素数←△=P-
|<=7, P-7,-P
=整数=P,1-P,-7
「互いに素が
仮定されているとき
=整う
①、②より、P9+1=PB
P(B-α) = 7
以上整数
→不定方程式が
解をもたない。

ページ2:

2.不等号の使い方
ア範囲をしぼりこむ
イ、難しいものから簡単なものにおきかえ。
例.x>0とする。 A>B>0 のとき
難易
2、中学μ-5+6=0.
x²=52-6
->
→ 2次
X+B
難
1次
バランス悪い。
←
←
→めったにない
こたえは少ない
--> 代
・ぶち込めばよい。
区間の長さが~
|高校 3人+2y=7
3L=-2y+1
→次次バランス良い
→ よくあること
→こたえは多い
差とか区間の
不戦の
→代入?知識
利用
長さでもっていって管理法
(答えが少ない)
例
六++/2/2=1
x=y=z=10
くで
こたえは
2=y=z=1
3>1 1~10,
↓合法化する)=不等でつなぐ
PotP2+..+Po = 1
→P.=P=-=P=/1/2
pe+ p +--- Pemin
の
xy
とする。
つまり
2+2+++対十
1≤ 2
非対称→関数→ビ分して増減表→範囲をしぼぼす。
↓
+---
63
b- tp² + --- + (h- ≤ 1³ 20
P. ² + --- Po² — — (R+ P. —-—-TR}+ { >0
P.² + --- +R²±

ページ3:

↓ 整数問題
3.大→小論法のいろいろ
7 因数分解
特にパーツ(+)(-)
15 in -y" = (-Y) (^^-1 + 2-2 y + ... + y^-7)
t +1 = (x+y) (10-1 - 1-2y + ... + y®-1)
イ、差に分解する。
←kytaktby
(k+a)(y+b)-ab
差をとれば
K 階差数列
次数が下がる!!
値使う問題はやや難クラス
例.n≧2のとき an = (an-an-7) + (an-y-(n-2) + ``-
…+ (az-ar) +d,
☆ウ、余りによるクラス分け、余りに着目して考察。
例 すべての自然数、
(mod)
難しい問題だと役に立たない場合も・・
→3で割って i) あまり0.ii)あまり1, iii)あまり2.
工、自然数の縮小列を作る。 …同じことを繰り返すとき、
(無限降下法)京大重
{}:自然数の数列
k>K>>kn>kati >…←いつか止まる。
3.ウ. +=
00
0
7
1

ページ4:

整数問題
4. 計算で処理
ふ解の公式の中身は平方数であることが必要
イ、二項定理 ←の中身は0以上が必要
最終手断!!
(a+b)" = nl. a^+ nc, a^-7 b' + ...
+n (n-1 ab + n lnb"
ウ互いに素が素数式が少なくても限定できる。
互いに素⇔最大公約数が1.
Pが素数1とP以外に正の約数をもたない。
例)nentは互いに素。2は偶数かつ素数のただ1つの数
4.1. ax²+ bx+c=0
k = - b±1b2-4ac
2a
b2-4ac = m②
(m≧7)
→(b+m)(b-m)=yac.
4.イ
の計算
①因数分解
②余りで分類(mod)←周期性
③漸化式 an=anton
今年ですかも、
antz = (at)anty-apan
④二項定理
補3. (a+b)事数.
P:素数
←PKは互いに素
plua pot (1≤KEP-7)
→>>
= P-76 K-7
整数

ページ5:

整数問題
5.その他
@. ntは互いに素
②連続する~個の整数の積はn!の倍数
aとbが互いに素のとき
600, 6-1, 6-2,…,b-(a-1)をので割った余
りは互いに異なり、それぞれの余りは0.7,…,a-7の
いずれかである
④異なるnt7個の整数のうち、適当な2個を選べ
(5)
ばその差はの倍数
a>b>0 とする。
aを6で割った余りをrとすると、Or≦b-7
aとbが互いに素のとき
art by=1をみたす整数火が存在する
⑦ 任意の2以上の整数aに対して、素数 P7,
が存在して
a = Prepzez... Pence,≧l, ---, en ≥1)
とただ通りに表せる。
例存は無理数であることの証明
何が有理数であると仮定すると=1728-1
p= pa paz por q = qßiqß que c₤es.
(P1, P2, ---, Pn, qy, bz, qm 12 )
①より 342=P2となり
34.
2B₁
bm"
26m
291
29m
=P1
---Pr
-②
)で左辺の素因数は奇数個、右辺の素因数
は偶数個となり②で等号が成立せず事

ページ6:

整数問題。
5037≦)に対して、]
bij = akjtr
bi=apith
b (-i) = a (&; - bi) 26%
(b(i-1)
=
整数
聖数
よって一度はaの倍数 -①
ここで、
十
1-a-7-Q
i
J
a-7
①は②に反して矛盾
6.⑥ 証明
->
->
→
antby=7
by=al-iH7.
byをので割った余りがとなるようない
yはある?
Yes ③ bitaで余りは1.
つまり bi = a-bi+7.
→ a-hi + b (-i) = 7 x64) λ=q;,y=-j
67 ふつうのやり方
①→
P392
→ (3k)* = 322
→3K242
→3k2=B
→k2=3ℓ²
73412-312
→342=l
P→K-04
(2)0
これが無限回つづくと矛盾
例は無理数であることの証明.
i)
P.互いに素
i)
無限降下法
直接代入)
ナ
代入したい
大学入試ででていない
P2=392
大
papan pon
※教科書にはのっている!
だからヤバイ

ページ7:

§ 整数問題
ROT
⑧ n!を素因数分解したときの素因数個数は
[剛]+[]+[音]+…
「素因数
つまり、
補足[]は以下の最大の整数とってく区]
刀
のとき自数数nに対して[ith]=[]tn
[k]+[x] = [x+y]
イxo, yyoのとき
ウ
≦yのとき
[][]
PはP>3の素数のとき
P6で割った余りは1または5.
⑩は素数とする。
1≦K≦P-1のときPCkはPの倍数
nとPが互いに素で、Pが素数のときnP-71 (modp)
(12) a,b,c を整数とする。
a2+6=が成立する⇒a,bの少なくとも1つは3の倍数
注を3で割った余りはDまたは1
⑩病が有理数⇒店は整数
④ すべての自然数nはn=2mm(20,m:奇数)
と表せる。
⑤ b-asa≦x≦bの中に少なくとも1つ
整数が存在する。
注、実数とに対して最も近い整数をいとすると、
12-n
⑩6a86で割った余りをんとするで、
(a,b の最大公約数)
(b,kの最大公約数)