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Chapter 2空間中的平面與直線
·平面方程式
④一平面E其法向量=(a.b.c),且通過A(xoyo.zo)
則平面E方程式 = a(x-xo)+b(y-yo)+C(Z-Z) = 0
·特殊平面方程式
@xy平面:法向量=(0.01),方程式Z=0
+1=(a+bic)
☑Auxp.2)
Alx. Yo.Z.) E
③yz平面:法向量=(1.0.0).方程式x=0
①x区平面:法向量=(0.1.0),方程式y=0.
eg:包含y軸且通過P(2.3.4)的平面方程式?
Sol: Y: A (0.1.0)
01000)
Ohxp=-2(2.0.1)= 万
2(X-2)+1(8+4) = 0
OA=(0.1.0)
ōp=(2,3,-4)
7 2x + 2 = 0 #
·求平面方程式
eg: 在空間中,已知平面E通過(3.0.0).(0.4.0)及正王車軸上一點(0,0,a).
若平面E和xy平面夾角成45",則q =?
n
3
结果:設奇++培训
a
12
cos45
=
J25a²+144
74ax+3ay +122-12a 4×144 = 50a² + 2×144
ПE = (4a,3α.12)
hxy=(0.0.1)
50a²=2x144
a=号(原不合)
·兩平面垂直,則法向量互相垂直
5
eg: 試求過A(2.1.-1) B(1.1.2)且與平面E:7X+4y-42=3
垂直的平面方程式E = ?
sor: n₁ = (1.4.-4)
12x-17y+42= k = 3 you!
offee an
adventure Stary
設平面E法向量=
AB=(-1.0.3)L
ABxnm=万=(12.-17.4)
⇒ 12X-17 y +42 = 3 #

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·兩相交直線決定一平面
X-14+2
+1
eg: 包含兩相交直線 : ===學和L2:42: 學的
平面方程式?
Sor: Vi=(2.1.3) Vix √ z
4(x-1)+(y+2)-3(2+1)=0
V2= (1.2.2) = (4.1.-3) =4x+y-32=5#
·空間中兩直線交點的求法
sx=3+3+
y=1+bt, t+R,
eg: 空間中兩直線L1: x1 = 17:12:34:
Z=-2+t
相交於一點,求(山)交點坐標?(2)包含L.L的平面方程式E=?
303: (1) 2+3+ = 3 +b² = 12/1 »t=-1.
1
3
∴∴ 交點(01-5-3)#
2) V₁ = (1.3.2) V₁x √2=1-9.5.-3). = 9x-5y+32= 16#
(B版)
V2=(3.6.1)
·點到直線的距離
eg:已知空間中三點A (-1.5.3).B(0.1.1).C(1.2.4). 求A到B的距離?
sor: sx=ott
BLS
₁₁{y = 1+tteR
1 z = 1+3t
AP:)(t+1)+(t-4)²+ (3t-2)2
=√11±²-18t+21 = √11(t-11)²+10
設垂足P(t.tt,1+3t) · AP=150
·關於直線的投影點和對稱點
y+1-2+3
eg: 試求A(1.2.3)關於直線:學: : 學的
J+RBL
Li
投影點H=? (2)對稱點B?
Sex: 11)
2
=
2
2150
L: {x=t+2 設H(t+2.2t-1.2t-3)
t=1
y=2t-1,tER AH = (t+1.2t+1.2t-6) H (3.1.-1) #
'Z=2t-3
you mustn't be afraid to
(2) dream hicle
fouling
AH-V=0=91-9
2(3-1)-(1,-2, 3) = (5.4.-5)#

ページ5:

·兩平行直線的距離
4:試空間中兩平行直線帶學和學學
的距離=?
Sor: P(1.2,0) Pot-3)²+ (2-2) (1-2+)² = √ √9+ ² 18 t + 14
alt-2, 2t, 1-2) 19 (t-1)²+5
.
兩歪斜線的距離
1:
id=55#
eg: 1-211 1012: 112-9+3, 2-29
公垂線段長=?
"
§08: 設平面包含L,且平行LZE:2X-5y+2+6=0
E之法向量=
V₁=(3,2,4)
√2=(2.1.2)
=VxVz=(2-5.1)
歪斜線的公垂線方程式
設B(-2,-5.2)
d(BE): 1-4+25+2+61:21.7J30
√30
=
10 #
+99412122
(1)
LI.L2之公垂線的重足分別為P.Q,則P.&坐標?
(2)L.L2最短距離=?(3) LI.LI之公垂線方程式?
Sol: (1)₂
設p(t-2,zt+3,-2t-3), PQ=(33-t+6,-43-2t-4,-S+2t+S)
Q(35+4.-45-1.-5+2) POL (1.2.-2), (3.-4.-1)
{33-1+6-85-4+-8+25-45-10-0
193-3++18+169+8++16+5-20-5:0
{5=-1 2.P(-3.1.-1) = (1.3.3);
It=-1
(2)阪:1.472742= 6 #
(3) V=(1,2,-2)
√2-13.-4.-1)
V₁x√2 = (212)
x+3
2
:
y-1
|
=
Z+1
2 #
you are an
adventure Story

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· 三元一次方程組的克拉瑪
saix + biy + C₁z = di
Az X +bzy + C2Z = d2 · 20=
a3x+by+C3z=d3
az bz Cz
1a3b3c3
a di Ci
1a, b, d,
sy =
az dz Cz
193d3 C3
Dz=
'
az bz dz
193b3d3
Idi bici
Axdz b2 C2
1d3b3c3
@若△扣,可得唯一解,即x=,=,=璺(克拉瑪)
) 若△=0.且△x,Dy,△z至少有1個不為0,即方程式無解
若△=0=△x=△y=△z,則方程式可能無限多組解或無解
·三平面幾何關係的代數判定
②E:aix+by+CGz=d1.Ez:qzx+bzy+ (2Z=dz, E3:a3x+by+C3z=d3
的相交情形
@恰有一組解,
三平面恰交一點
@無限多組解
Ez
E1
E1-E
E1-E2-E3
三平面互異且
兩平面重合且和
三平面重合
相交於一直線
交一直線
@無解
\E2/E3
E₁
E1=E2
40
EZ
E3
兩兩相交
但線:
没共同交點
Jigge
兩平面平行且
“粘”第三面分別
交一直線
三平面平行
兩平面重合目
和第三面平行