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OCR失敗: NoMethodError undefined method `first' for nil:NilClass

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2a(ap+bq-c) 2b(ap+bq-c)
51 對稱點公式:平面上(p.q)到ax+by=c的對稱點為(p-- a²+b*
子的2即投影點坐標。可推廣到空間中點對面的對稱點、投影點
.9-
-),去掉分
a²+b=
54. 二階行列式及應用
a b
(1)
ad-be,加絕對值即為「向量(a,b)、(cd)張成」的面積
ax + by = p
la b
2
若A=
≠0,則x=
y=
ex+dy = q
cd
◎第四冊
5 正四面體:邊長擔a,則高 6。
一,即外接球與內切球的半徑之和,兩者比例為3:1
56 錐與球]:①錐體體積=2×柱體體積 ②球體體積= «r ③球體表面積=4mr?
57. 空間向量的外積ā=(x,y,z),ō=(xzzzz),則ãxb= (1)會與、õ都
垂直,且ã、ö所張成的三角形面積爲 zlāxb1
58 平行六面體體積 :ã=(x)=(non)=(x,y),所張不行六面體體積爲lā.(bxc)].
59. 空間中的直線
x = p + at
過點(p,g,r),與向量(a,b,c)平行的直線y=q+bf(IER),若abc≠0也可寫成 x 72= 279=225
z = r+ cf
60 矩陣的列運算:有三種,①某列乘上非零數值 ②某列乘k加到另一列 ③某兩列對調
a
1.矩陣的運算 :同階數的矩陣可相加減,”×k階的矩陣可以乘kxx階的矩陣,得nxr階的乘積
62 矩陣乘法的性質
①AB=BA
②(x)(yB)=(xy)AB
③(AB)C=A(BC)
@A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
⑤ det (A)×det (B)=det(AB)
63 二階方陣
a b
d-b
二階方陣 A =
,若 det(A)≠0,則可找到唯一的 A' =
det(A)
使得 AA-' = A-'A = I
64. 轉移方陣:各元非負且每行的元素和為1
5 拋物線定義
給焦點F與準線L,平面上到F、L距離相等的動點形成拋物線。上下開口時,其標準式為
4c(y-k)=(x-h);左右開口時,其標準式爲(y-k)'=4c(x-h),焦距|c|爲焦點到頂點的距
66 橢圓定義
給焦點A與B,平面上滿足 PĀ+PB=定值(長軸長)的動點P形成橢圓。其標準式爲 (xzh)+(VGA)=1,
扁形時@較大為半長軸,b較小爲半短軸,與半焦距c滿足a=b+c(a最大)
67. 雙曲線定義
給焦點A與B,平面上滿足|PA-PB|=定值(貫軸長)的動點P形成雙曲線。左右開時其標準式爲
(x-h)_(y-k)_
`ate-up-=1,為半貫軸,為半共軛軸,與半焦距滿足c=a+b²(c最大),漸近線爲
y-k=≠ 2 (x-h),雙曲線上任一點到兩漸近線的距離乘積爲定值 0262

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b
C
正弦定理:
sind sin B
sinC
=2R、R為外接圓半徑,即a:b:c=sin4: sinB:sinC
37 餘弦定理:ABC.則 cos = 2bc
3) 中線定理:△ABC-MIS BC中點,則中線而滿足XB+C=2(AM²+MB)
bi+e−d? • [ad = b°+c²−2bccosd
30 和角公式:sin(A+B) sind cosB+cost sin B
(3) cos (A+B)= cosAcosB-sind sinB
② sin(A-B) = sind cosB-cosAsinB
⑤tan(A+B)
tand+tan B
1-tan tan B
tan (A-B)
④ cos(AB)=cosAcosB+sin sin B
tan A-tan B
1 + tand tan B
1-tan²0
40二倍角:(j)cos20 = cos²0-sin²0=1-2sin²0=2cos²0-1
1+tan:0
② sin20 = 2sin/cos=
2tand
1 + tan:0
tan20=
2tand
1-tan:0
41. 三倍角 : cos30=4cos²0-3cos0 sin30=-4sin20+3sind
42 半角公式 :①sin? 2
1-cos0
2
2 cos²
2
1+cose
2
③ tan.
2
号:
sina
-
1+cos
43. 半平面:已知a>0,則ax+byzc爲右半面,ax+by≤c為左半面
44. 方程式:平面上,關心為(a,b),半徑為的方程式為(x-a)+(y-b):=F
45 平面向量與運算
③平面上,貼向右移,再向上移到達B點,則AB=(p,g),|XB|=p+q7,係數積爲rAB=(rp,rg)
ä=(x,y),苏=(2n),則石五=(x=右,n=n)
③ã= (x,n),b=(x),夾角爲日,則āb=[ālxxcos = xix + yiji
6. 柯西不等式:任兩向量ã與五滿足不等式(五)≤
,由此可得:
(xin + JiJ2+22) 2≤(x²+y²+z})(x2+y+zz)。等號成立⇔
AA-A
47. 正射影:ã在上的正射影為向量。
-6,與同向或反向
御
48 四心定義:△ABC,A(x,y)、B(右)、C(x,y),各頂點對邊僑a、b、c,其四心爲:
①重心:三中線的交點,指(紅+p+石++五)
②內心:三內角平分線的交點,到三邊等距離,為內切圓圓心,為(x+bxs + cxsay+by+cy))
a+b+c
a+b+c
③外心:三邊中垂線的交點,到三頂點等距離,爲外接圓圓心
④垂心:三高的交點。由定義求外心、垂心的坐標
4. 三角形面積:A= =ab sin C = √|AB||AC (AB · AC)² = √s(s-a) (s-b) (s-c) = rs • s = a+b+c
周長,為內切圓半徑
50 法向量:①平面上,與直線ax+by=c垂直的向量,如(a,b)即法向量
②空間中,與平面 ax+by+cz=d垂直的向量,如(a,b,c)即法向量
51.直線交角 :①直線斜率m,L斜率m,兩直線的夾角為0,則tan 0 =
②直線法向量,L.法向量,兩直線的夾角爲0,則cos:
m₁-m
-
+m,m
52. 距離公式:①平面上點(p.9)到ax+by=c的距離為
|ap+bq-c|
√√a²+b²
lap+bq+cr-d]
②空間中點(p,q,r)到ax+by+cz=d的距離爲
√√a²+b²+c²
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二倍
◎第一冊
1. 乘法公式:①a+b=(a+b)(a-ab+b'),a'b'=(ab)(a²+ab+b²)
② (a+b)=a'+3a'b+3ab²+b'+(a-b)=a'-3ab+3ab° + b
2. 循環小數化成分數:0.abc=
abc
999
"
0.abc
abc-a, 0.abc
990
=
abc-ab
900
3. 數線上的分點公式:數線上有d(a)、B(b)兩點,P在TB上且PA:PB=m:n,則P點坐標為
4. 雙重根號化師:a>b>0,則va+b+2/ab=va+b.va+b-2/ab=va-b
5. 算幾不等式:a、b>0,則 6 1 6 2 vab,等號成立時必a=b
mb+na
m+n
6.絕對值不等式:x∈R,k≥0,則|x|≤k > -ksxsk @xzkxzk或x≤-k
7. 斜率定義、性質與應用:①兩點(x)、(x,y),連線斜率爲m=一片
9
②點向右移p,再向上移到達B點,則ma= P
③ y=ax+b的斜率爲a,ax+by=c的斜率爲
8. 頂點公式:二次函數y=ax+bx+c的頂點坐標(一
b 4ac-b3
9
2a 4a
餘式定理與因式定理:①多項式f(x)除以ax-b的餘式爲 (10)
a
②多項式f(x),則『f(k=0 f(x)有因式(x-k)」
10. 牛頓法找有理根:f(x)=ax+...+ax+ao爲整係數多項式,若ax+b爲f(x)的因式,a、b為互質整數,則
a 整除,且b 整除。即最簡分數,若為f(x)=0的根,則p整除a.'q 整除
11. 根與係數:①ax²+bx+c=0有兩根a與,則a+B=
P
aß=
a
a
②ax²+bx+cx+d=0有三根a、B、y,則a+B+y=-b、ap+By+ya = 6 . apy=-1,可推
廣至n次方程式
12 勘根定理:實係數多項式f(x),a、b∈R,若f(a)-f(b)<0,則在a<x<b內必至少有一個f(x)=0的
實根
13. 共軛根定理 :實係數多項式f(x),則f(三)=f(z),若a+bi為根,則a-bi也是根
14. 對數定義:log.b=c⇒ a=b。底數a>0,a≠1,真數b>0時, log.b才有意義
15. 對數公式:①logex+log.y = logoxy
x
④ loginx
=
log.x-log.y = log.
③ log.(x*) = mlog.x
log, b
log, x
n
⑤換底公式:log.b
⑧ame=c.
=
⑥log.b=
log, a
log, a
⑦ a = x
16. 首數與尾數:正數取log, loga=首數+尾數,尾數為非負純小數可得a的最高位數字
◎第二冊
①若首數>0,則a的整數部分有(首數+1)位
②若首數<0,則a自小數點後第k位始不爲0,k=-首數
17. 等差數列<a>:①公差爲d,則a=a+(n-1)d