ページ3:

X1 小問集合(自学 Akagi)
(2)|x-4|<3
絶対値をはずすと
-3<x-4< +3
辺々に4をくわえて 1 <x<7答
(3)p:△ABC は直角三角形 q: BC2 = AB2 + AC2
op q は偽(反例 AC2 = AB2+BC2 )
opq は真
よって,条件 pは条件 gであるための
必要条件であるが, 十分条件ではない。

ページ4:

●X1 小問集合(自学 Akagi)
(4) y = 2x2 - 5x + αにx=2,y=-5 を代入すると
-5=2x22-5x2 + α
∴.a=-3答
① = 0 を解くとy=2x2-5x-3= 0
∴ (2x+1)(x-3)=0
∴x
1
--
2
'
x=3
よって, 放物線 ①がx軸から切り取る線分の長さは
7
答
3-1-2)=1/20
+3
x
--
2

ページ5:

X1 小問集合(自学 Akagi)
1
(5) cos0=-- (0° < 0 <180°)
2
を満たす0の値は 0=120°答
このとき
tan(180°-120°)=tan60°
=√答
2
120°
60°

ページ6:

X2
[1]mはm<√13<m+1を満たす整数とする。
3
(1) m の値を求めよ。 また, α =
簡単にせよ。
とする。 αの分母を有理化し,
4+√13
(2) α,βの多項式α-a²β+a2-β3を因数分解せよ。 また,αを
(1)の値とし, β=m+1+√13 とするとき, xの不等式
ax + ß³ +α² ß > ßx+a³ + aß² &#\}.

ページ7:

X2 式の値(自学 Akagi)
(1)√9 <√13<√16 より
3<v13 <3+1
よって
3
- を有理化すると
m=3答
3
4-√√√13
a =
a
4 + v13
=
4+√13 4-√13
3(4-√13)
16-13
=4-v13答

ページ8:

X2 式の値(自学 Akagi)
(2) a³-a² ß+aẞ² - ß³ = (a³ - a² ß) + (aß² – ß³)
(1)より
また
整理すると
= a² (a - b) + ẞ² (a – ß)
-
a = 4-√13
= (α-B)(a² + B²)
B=m+1+√13=3+1+√13=4+ √13
ax + ß³ + a² ß> ßx + α³ + aẞ²
ax-Bx>α-a²ß + aẞ² - ß³
(a-B)x> (a- ß) (a² + ẞ²)
=4² - (√13)²
ここで
a+B=8
aẞ
a-B=-2√13
=3
a² + ß² = (a + ß)² -2aß = 8² -2.3 = 58
これらを①に代入して -2√13x>-2v13 × 58
∴x < 58 答

ページ9:

X3 袋の中に1,2,2,3,3, 3 の6枚のカードがある。 この袋
から1枚のカードを取り出し, 書かれている数を記録して袋に戻す。 こ
の試行を3回繰り返す。
(1) 記録された数が 1,2,3の順になる確率を求めよ。 また, 1, 2, 3
の数が1回ずつ記録される確率を求めよ。
(2) 記録された数のうち, 最大のものが3で,かつ, 最小のものが2で
ある確率を求めよ。
(3) 記録された数のうち, 最大のものが3であるとき, 最小のものが2で
ある条件付き確率を求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ10:

答
×
63
×
1-3
1|2
1-6113
=
1
6
答
1
36
X3 反復試行& 条件付き確率(自学 Akagi)
(1)1回目が1である確率は
2回目が2である確率は
3回目が 3 である確率は
1|31|2
1|62|63|6
=
これらを同時に行えばよいので, 求める確率は
また, 1, 2, 3の並べ方は3!= 6通りあるので,
求める確率は

ページ11:

(2)最大が 3,かつ, 最小が2であるカードの組み合わせは二通。
i) 3が2枚,かつ, 2 が1枚の場合
(3,3,2),(3,2,3),(2,3,3
1
1
の三通りの取り出し方があり,それぞれの確率が
―=
2
23
1|12
だから, 1/12×3=1/1
4
ii) ③が1枚,かつ, 2 が2枚の場合
(3
2,2),(2,3,2),(2,2,3
1 1
の三通りの取り出し方があり、 それぞれの確率が-x
2 3
1-3
=
18
1|B
だから,
1/8×3=1/
iとiiは互いに排反だから, 求める確率は
+
1 5
- =
4 6 12
答

ページ12:

X4 座標平面上に, 2点A(1,3), B (7, 0)と円
C:x2 + y2 - 4x + 4-a = 0
がある。 ただし, aは正の定数とする。
(1)円Cの中心の座標を求めよ。 また, 半径をαを用いて表せ。
(2)点ACの内部 (周を含まない)にあり,かつ,点Bが円Cの外部
(周を含まない)にあるようなαの値の範囲を求めよ。
(3)円Cが線分AB (両端の点A, B を含む)と共有点をもつようなαの値
の範囲を求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ13:

X4:図形と方程式(自学 Akagi)
►A(1, 3), B(7, 0), C:x² + y² - 4x + 4-a = 0 (a > 0)
(1) 平方完成して頂点の座標と半径を求めると
(x²-4x+4)+ y² = a -4+4
(x-2)² + y² = a
(2) OA = √√(1-2)² + (3-0)² = √10, OB = 5 = √25
頂点(2,0) 半径√a 答
AC
点Aが円Cの内部
OA <√a
➡
√10<√a
√10 <√a ➡ 10<a
点Bが円Cの外部
BC
≥ OB>√a •
√25 > √a
➡ 25> a
これらをともに満たす値の範囲が解だから 10 <α < 25答

ページ14:

(3)~準備~
0-3
o 直線AB の式は y-3
=
(x-1)
7-1
○点Aと直線AB の距離をd とすると d
円 C が線分AB と共有点をもつ
∴x+2y-7=0
=
|2+2.0-71=√5
円の半径がd 以上 OB 以下
√5≤√α ≤5
V12 +22
Bが円の外部
おk
∴5≦a≦25答
B
A
Bが円に入っちゃうと
だめ
B

ページ15:

X 5 2次関数 f(x)=-x^ + ax + b があり,f(1) =3, f'(1) = 2 である。 また,
放物線 y=f(x)をCとする。 ただし, a, b は定数とする。
(1) a,bの値をそれぞれ求めよ。
(2)実数 tがあり,2<t<4とする。 3点 0(0, 0),P(t, f(t)), Q(t, 0)
をとり, △OQP の面積をS, 放物線Cのt≦x≦4の部分と線分 PQ お
よびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。 S, T をそれぞれtを用いて
表せ。
(3)(2)のとき,g(t) = 2S - 3T とする。 tが2<t<4の範囲で変化するとき,
g(t)の最大値と,そのときのtの値を求めよ。
Akagi
(配点 40)

ページ16:

X5:微分法と積分法 (自学 Akagi)
(1) f(x) = x² + ax + b
▷f(1) =3より
3 ƒ'(x) = −2x + a
−1² + a.1+b=3
a+b= 4
-2.1+a=2
▷f'(1) = 2より
a = 4
②①に代入して
b=0
以上より a=4, b=0

ページ17:

(2)(1)より f(x) = -x2 + 4x = -(x - 2)2 + 4
軸: x = 2
頂点(2,4)
f(x) = 0 を解くとx=0, 4x軸と放物線の交点の x 座標)
図より, △OQPは直角三角形だから、
S = tx (-12+4t) ÷ 2
また
=--13 +212答
=/1/
S
CA
P(t, t2+4t)
T
T = [ (-x2 +4x)dx =
=
-f'(x+x'+2x-3-2+
2x²
2
32

ページ18:

(3)(2)より
g(t)
3
1)=20-1/21+2
+212) -3(
32.
-212
+
3
=-2t3 +10t2-32
g'(t) = -6t2 + 20t = -2t(3t-10)
ここで
10
g'(t)=0のとき t = 0,
3
2<t<4の範囲でg(t)の増減表は
t
2
...
10
3
:
...
g'(t)
g(t)
0
-
7 Max
+
10
となるので,g(t)はt=
このとき最大となり,最大値は
3
==
8=-2(+10.(
-2(-) +10・(-)2-32=
136
27
2m

ページ19:

X6 等差数列{a}があり, a,=20,a2+ α = 72である。また,
b₁
=15, bf1-b=a(n=1,2,3,
(1) 数列{a}の公差を求めよ。
...
・)で定められる数列{b,}がある。
(2)数列{a}の初項から第n項までの和 S„ を n を用いて表せ。 また,
数列{6}の一般項を求めよ。
11
(3) n を用いて表せ。
1 を
k=1
b₁
Akagi
(配点 40)

ページ20:

X6: 数列 (自学 Akagi)
(1)数列{a}の初項は20, 公差をd とすると,
と表せるから
an=20+(n-1)d
a2= 20+ (2-1)d = 20 + d
a4=20+ (4-1)d = 20 + 3d
a2+α4=72より
(20 + d) + (20 +3d) = 72
よって d=8答
(2)(1)より
a,=20+(n-1) 8 = 8n +12
よって Sm =2ak
11
Σa₁ = [(8k +12)=8×½n
k=1
k=1
(8k+12)=8x-n(n+1)+12n=4m² + 16n答
=8x12m(n+1) +12n=4m²
別解
初項 20, 公差 8 の等差数列の初項から第n項までの和は
n{2.20+(n-1).8}= 4n² +16n 和の公式
S=1/2m12-20
bm+1-bm=am=4m² +16n 階差数列型の漸化式
n-1
b=b, + Zak = 15 + Sm
また
n≧2のとき
ak
Σ a₁₁ = S
1
k=1
k=1
n-l
=15+4(n-1)^+16(n-1)
=4m² + 8n +3答
これはn=1のときにも成り立つ。

ページ21:

(3)(2)より
bm
=4m² +8n+3= (2n+1)(2n+3)
ひっくり返して
1
因数分解
1
=
b (2n+1)(2n+3)
1/2(211
1
部分分数分解
22n+1
2n+3
17
よって
IM-
k=1
1
b₁
k
=
n
k=1
1 1
1
2 (2k +1 2k +3)
22k+1 2k+3
1
ドミノ型
1
=1{1/3 - 1/2) + (1 - 17+ + (2n + 1 2n+3
2
1 1
==
5' 5
1
23 2n+3
n
6n+9
2n+1

ページ22:

X7 右の表は、あるクラスの5人の
生徒
数学(点) 7
A
B5
C D E
9 6 3
生徒 A, B, C, D, E に対して行った
理科(点) 6
a
8 10
st
4
数学と理科の小テスト(各10点満点) の得点をまとめたものである。
ただし, aは正の整数である。
(1) 数学の小テストの得点の平均値と分散をそれぞれ求めよ。
(2) 理科の小テストの得点の平均値が7点であるとき, αの値を求めよ。
また,このとき, 理科の小テストの得点の標準偏差を求めよ。
(3) (2) のとき, 数学の小テストの得点と理科の小テストの得点の共分散
と相関係数を求めよ。
Akagi
(配点 40)

ページ23:

X7 : データ分析 (自学 Akagi)
(1) 数学の小テストの得点の平均値をX,分散をs. ^ とすると
X =
7 + 5 + 9 + 6 +3
=
6(点)答
5
Sx
=
(7-6)2 + (5-6)2 +(9-6)2+(6-6)2 + (3-6) 2
1 +1 +9 +0 +9
=4答
5
5
(2) 理科の小テストの得点の平均値をY, 分散をs, 2, 標準偏差を s,と
すると
y = 6+a +8 +10 +4
S
=
5
= 7 ∴a = 7答
(6-7)²+(7-7)2 + (8-7)² + (10-7)²+(4-7)²
1 + 0 + 1 + 9 +9
5
5
= 4
よって
Sy
=
√5,2 = √4 = 2 (点) 答
=
|標準偏差=√分散

ページ24:

(3) 数学の小テストの得点をx, 理科の小テストの得点をyとして例の表を
つくってみます。
x
y
x-x
y-y (x-x)2(y-y)2(x-x)(y-y)
A
7
6
+1
-1
1
1
-1
B
5
7
-1
0
1
0
0
C
9
8
+3
+1
9
1
+3
D
6
10
0
+3
0
9
0
E
3
4
-3
-3
9
9
+9
計
30
35
0
0
20
20
11
平均
6
7
0
0
4
4
2
X
Y
S
2
S
2.2
共分散
必ず0になる
X
分散
表より, 共分散は2.2答
また, それぞれの標準偏差は
X
Sy = 2,
S₁ = 2
y
よって, 相関係数は
(x-x)(y-y) 2.2
r =
=
=
0.55 答
Sx
SX
xs,
2×2
共分散
相関係数 =
それぞれの標準偏差の積

ページ25:

X 8 2次関数 f(x) = ax2 - 4ax + 5a+1がある。 ただし, aは0でない
定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
(2)a<0とする。 y=f(x)のグラフが, x軸の0≦x≦3の部分と共有
点をもつようなαの値の範囲を求めよ。
(3)a<1とする。0≦x≦3における関数 f(x) の最大値を M,最小値を
m とするとき, M-m=8a²となるようなm の値を求めよ。
Akagi
(配点 40)

ページ26:

(1) 2次関数
X8:二次関数 (自学 Akagi)
f(x) = ax2 - 4ax + 5a + 1
を平方完成すると
= a(x2 -4x) + 5a + 1
a{(x²-4x+4)-4}+5a +1
=
= a(x-2)^ - 4a + 5a + 1
= a(x-2)2 + a + 1
よって, y=f(x)のグラフの頂点は(2, a+1)答

ページ27:

(2) a<0とすると, y = f(x) のグラフは上に凸の放物線で,軸がx= 2
だから, お絵かきしてみると, x軸の0≦x≦3の部分と共有点をもつ
ためには次の二つを満たせばよさげ。
(ア) y切片が 0 以下
⇒ f(0) ≤0
(イ) 頂点のy座標が0以上
⇒
(ア) f(0) ≦0より5a +1 ≦ 0
(イ) f(2) ≧0より a+1≧0
f(2)≥0
∴a≦
∴ a ≧ -1
1
(ア)かつ(イ)より-1≦a≦- (a<0を満たす) 答
a+1
0
5a+1
2
3
共有点

ページ28:

(3) 次の二つに分けて考えればよさげ。
(ア)
0<a<1 のとき (下に凸の放物線)
(イ) a<0
(ア) 0<a<1のとき,
のとき(上に凸の放物線)
M = f (a) = a³ – 4a²+5a+1
m=f(2) = a + 1
M-m=8a2 より
a³-12a² + 4a = 0
a≠0だから
a² -12a + 4 = 0
∴a=6-4√2 (0 <a< 1 )
(イ) a<0のとき
M = f(2) = a + 1
\M
m
a
23
m = f(a) = a3-4a² + 5a +1
a
23
M
M-m = 8a2 より
a3 + 4a² + 4a = 0
a≠0だから
a 2 + 4a + 4 = 0
∴a=-2(a<0を満たす)
(ア), (イ)より a=-2, 6-4√2 答
m

ページ29:

X9 AB = 8, BC = 7, CA = 5 の△ABC がある。
(1) cos ∠ABC の値を求めよ。
20√3
(2)辺 BC 上に点 D を, △ABD の面積が
となるようにとる。 線分
7
BD の長さを求めよ。 また, 線分AD の長さを求めよ。
(3) (2) のとき, sin∠ADB の値を求めよ。 また, △ADC の外接円の半径
を求めよ。
Akagi
(配点 40)

ページ30:

X9:図形の計量 (自学 Akagi)
(1)∠ABC = 0 とする。 △ABC で余弦定理より
52 = 82 +72-287cos0
∴112cose = 88
8
A
5
11
∴.cos o = cos ∠ABC
=
14
B
C
D
(2)sin0 >0より
7
sin0 = v1-cos20=
5√3
=
14
よって AABD=
これが20√3
1
5√3
10√3
・AB・BD sin 0=
.8.BD..
・BD
2
2
14
7
10√3
だから
20√3
BD
7
7
7
∴ BD = 2答
また, △ABD で余弦定理より
AD2 = 82 +22-2・8・2=64+4-- =
11
176 300
14
7 7
AD>0より
1300 10√21
AD =
7
7

ページ31:

(3) △ABD で正弦定理より
AB
sin∠ADB
AD
sin∠ABD
∴ sin∠ADB = AB AD × sin∠ABD
A
8
57
7
5√3
10√21
= 8.
10/21
10√21
14
7
2√7
B
答
C
2 D
5
7
また, △ADC の外接円の半径をR とすると, △ADCで正弦定理より
AC
5
2R=
5
5
5√7
sin∠ADC
=
sin(180°∠ADB)
sin∠ADB
2√7
2
7
補角の公式
∴.R=
5√7
4
答

ページ32:

(3)『最大が3』 の余事象は, 『3枚とも2以下』。
1枚のカードを取り出したとき, 1である確率はーで2である確率は
6
だから, 1枚のカードを取り出したとき,2以下である確率は
111
632
+ -=-
よって, 『3枚とも2以下』である確率は
111
1
-
-
2 2 2
==
8
であるので, 余事象の確率により『最大が3』である確率は
1
--
1 7
=
8 8
①
また,『最大が3で最小が2』である確率は, (2)より
5
12
したがって, 求める条件付き確率は②①より
5 7 10
12
-
8
=
答
21
②
3