ページ3:

P31.
(2)f(x)=tan-x(x=1)
f(1)=tan-11
y=tarltony=1
y = 7
Date
X (1.1) ['y tan^x => x=tan of
(tan+x)=1+x=
=
匹
4.
f'() = 1 + x² 8" f'(1) = ½½
これより x=1における1次近似式は
fo+f(x-1)+1/(x-1)
元
+0-107-07
· 8,7 tan^x = 1 / 1 + 1 = (x-1) ut tot
4
1次式による近似
f(x)=f(a)+fla)(x-a)+
ε₁
ただし lim
=0
xax-a
P3 例2 f(x)=「とすると、例はよりx=1における1次近似式は
仮≒1/2(-1)=1/3+1
f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+e.の等式で表すと、210gの闇の
1=1+1/2(x-1)+2、ただし 22:0
lim E 0.
7717-1
2次式による近似
f(x)
fox = fra) + f'rax(x -α) + F" (a) α- α)² + E₂
t
2
ただし lim&2
=0
770x-00
ひがのに十分近いとき、次の近似が成り立つ
f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+
"(a) (x-a)²
2
fia)キロのとき y=f(a)+fra)(x-a)+
f(x)のx=aにおける2次近似式
f0103は曲線yofu)上の
2
点(a,f(a))において、y=f()のグラフに接する2次関数
KOKUYO

ページ4:

Date
P5 例3 f00=仮について、例2よりf(x)=f(a)+f'(a)(xa)+Eの等式で表すと
=1+1/(x-1)+1.
だから
f" (x) = - AT TEN'S f'" (1) = -
これから、x=1における2次近似式は
f)
F(1) + f'(a) (x-1) + f (a) (x-1)² = 1 + 1/2(x+1)- 18 (x-17
2
f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(メーの3+この等式で表すと
1=1+1/2(-1-1/2(-1+Ez
また、2次近似式を用いての近似値を求めると
=1+1/2(1.1-1-1/8 (11-13=1.04875
0
-y=√x
7=1+1(x-1)
1+1/2(11/1
x
P52 次の関数のx=0における2次近似式を求め、等式で表せ
(1) ex
fc=exとするとf10)=ピ=1
f1(x)=ex より f110)=ピン1
f(x)=(exy'=ex より f(0)ンピン1
x=Dにおける2次近似式は
f(x) = f(0) + f'(0) (7-0) + 20 (1-0) 27
2
Campus
ご+x+1/2
よってex=1+x+2/+2、ただし10/20
2.

ページ5:

P52
(2) Cost
f(x)=cost:f10)=coSD=1
f(x)=-sinx, flo)=sino=0.
f" (x) = - cosx, f"(0) = - COSO = -1
x=0における2次近似式は
f(x)=f(0)+f'(0) (1-0)+5/07 (10)
f'(0)(2-0)+f70(オーロ) 254
= 1 - 1 1/2 = x²²
2
$27 COSX= |¯ \X²+E2 FEL lim Cz
(3)六
f(x) = √x = (1-x)+, fro)= |
f'(x)= -(1-7)²⋅(-1)
= (1-2)²
f(x)=1
f'(x) = −2 (1-7)™³· (-1)
f(x)=2
12=0
No.
56
Date
=2(1-103
x=0における2次近似式は
f(x)=f(1)+f(0)(スー0) +
=1+x+x2
₤102 (1-0)²
2
(1+X)(1+x)=(x+(C)
CE)
よって1=1+x++ュ、ただしling=
P32. 次の関数の入=0における2次近似式を求め、等式で表せ
(1)f(オ)=COS(九+π)
f(0)=COST_____F(a) = -SIN(+1) -
=-107 f'(0) = -sint
=0
501
GO
CI
0-1
to to
010
f'(x) == COS (X+T) SA
f"(0) - COSTL
= -
(
=1
・次のページへKOKUYO

ページ6:

No.
Date
6 2.
P32(1)続き
x=0における2次近似式は
に
f(x)= ₤10) + f'(0)(2-0) + (0)(x-0)² + E₂
=-1+1/x
C2
よってCOS(Z+π):-1+1/2x+2、ただし1/12=0
E2
(2) f(x)=
-x
fα) = (1-x)) = ½²²
f000=1
f(x)=1/2(1)(1) 1(0)=1/2
(1-x)-
3
f(x) = -22. — —≤ (1-x)=-1/-(+) ₤"(0) = 1/4
号(ハース)
x=0における2次近似式は
よって
f(1)
f(x) = f(0) + f'(ox(x-0) + f (0) (x-07+E
f00=f10)+f'10)(x-0)+
・1+1/x+音が
• = 1 + 1 x + x² + E₂, KK l lim &² = 0
(3) f(x)=(x+1)log(x+1)
f(n) = log1=0
f'(x) = (x+1)/log(x(+1) + (x+1) { log(x+1)}"
= log (x+1) + (x+1). + f'(0)= log 1 + 1
= log (x+1)+1
1.
f(x) = x1 f(0)=1
L
X=0における2次近似式はf:ff1000)+400(オー03+2
Campus
5-7 (x+1) log(2+1) = X + ½ x²+ &₂ FEL lim Ex =0
→0x2

ページ7:

No.
78
Date
1 P32
(4) f(x)=sinx2
f(0)=sino=0
f'(木)=2xcosx2f'10)=0
f(x)=(2x)'COSX2+2x(COSX)
さ
= 2 COST²+Zx⋅(-2xsinx²)
2cosx-4xzsinx²
f(0)=20050-0
=2.1
= 2
x=0における2次近似式はf(=f()+f(0)(1-0)+40003
=
5,7 Sinλ² - x² + Ez_ EEL lim 12 =0
ただし
2
P53の大=1における2次近似式を用いて、初の近似値を小数第3
位まで求めよ.
fとすると f01=1
f(x)=1/35x1/21f100=1/3
f(x) = - — x ≤ 811 ƒ"(x) = — — —
これよりx=1における2次近似式は
f(x) + f'(x) (x-1) + £ ³ ³ α(−1)² = 1 + 1 = √(x-1) — — — —√(2-1)²
19=sinxでズームとすると
1=sinu, u=x2
dy, de de
dx
=cosu-2x
=2xcosx2
よって≒1+1/3(スーリー (X-12
9
これを利用して
| || | = | + |— — (1.1-1) — —— (1,1-1)
9
=
=1+1/3.0.1-1/21.10.1)2
9+0.3-0.01
9
=1.0322
1,0322
9)9.29
929
27
20
18
20
2
よって狐の近似値は1,032
KOKUYO

ページ8:

10.
85
Date
5 P3 3. f(x)= log(1-2)のx=0における2次近似式を用いて、log 0.9の
近似値を小数第3位まで求めよ
foo=log1=0
flox)=-==-x 8") f'(0) = -1
f"(x)=-(x-1)-² F" f"(0) = -|
これよりx=0における2次近似式は
f(0) + f'(0) (x-0) + 810) (1-0)² = -x--x²
2
20
よってlog (1)≒ーカー/1
2
-
これを利用して Morg 0.9= log(1-0.1)
⇒ - 0,1 - 1 1/2 * (0.1)²
-
=-0.1-0.005
= -0.105
したがってlog 0.9の近似値は-0.105
④2 多項式による近似(2)
次式による近似
f(x) = f(a) + flax(x-a)+ ₤"(a) (x-a² +
f(x)=f(a)+fla)(x-a)+f(a)
2!
+
f(a)(x-as+En
n!
ただし-lim
En
=0
70 (x-9)".
(六)
=-(x-1)-2

ページ9:

f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+
2!
xaにおけるに次近似式
+ fan(a)
(x-a)²
n!
関数そのように大のの近くで定義され、limε=0でさらに
En
ス
kaa=0を満たす関数をまとめて○((x-の)と表す
次式による近似の公式を
ランダウの記号を使って表すと
記号をランダウの記号
スモールオウ
No.
9
Date
| f(x)= fia) + forex_a) + f'" (arix-as².
2!
"
+ f (a) (-a)" + 0 ((x-9)^2)
n!
P7例題 関数はx=0の近くで次のように表されることを証明せよ
ex:+x+
立炉+…+赤ズ+00)
f(x)=exとおくと、f'(x)=f(x)=
f10)=f(0) =f10)=
0(62-0347)
=f(x)=xより
= f(n) (0) = 1
これからf(x)の入口における几次近似式は
yex
y=x
(0,1)の接帯
傾きが1
+
したがって
e² = 1 + x +
+
+o(x)
ex=1+x+2/+

ページ10:

No.
10.
Date
P7 問4の大二口における4次近似式を用いて、ピの近似値を小数
第4位まで求めよ。また、(2)5=eを用いて、eの近似値を求めよ
foo = excε f'α)=f"0= f(x) = f (x)=e^x"
flo)=f(0)=f(0)=f(0)=f(0)=1
これよりf()の丸=0における4次近似式は
Campus
+
+
よって
ex=1+x+
21
3123
+
これを利用して
4144
€0.² = 1 +0,2 +
0.04
+
2
0.0008
6
+
0.0016
24
24+4,8+0.48 +0.032+0.0016
24
29,3136
24
≒1,2214
¥1,2214
Ħ e = (0,2)5
€1,22145
=2,71825y...
≒2,718
よって≒1.2214 e≒2,718
(2025 -(e)5
=es
= ľ
=e

ページ11:

Basic
Date
34. 関数のx=0における4次近似式を用いて、√eの近似値を小数
第4位まで求めよ。 また (exeを用いて、eの近似値を求めよ
3!
4!
1.1
e+x+
2!
→++赤より
厄e=el+
==1+/+/2/1古段)・病性)*
24
3
1 64843
=
2+ t
+
23
232+2+3+2+1
24.3 2.3
48
791281211
632 128
830
23(23+2.3 +1 +1
768
27.3
=8×(72+6+1+1
620
512
1080
211×3
=633
32
1024
4
128×3
=211x3
128
-= 1.64843....
≒1,6484
またe = () = (1,6484)
=2.71722256
(K) + ³½ 2.7172
2
560
512
1480 10
384
96
1,6484
×1,6484
65936
131872
65936
98904
16484
よって厄≒1,6484e≒2,7172
2,71722256
975 x=0の近くで次の等式が成り立つことを証明せよ。
3
(1) Sinx=x+京メーカ+o(x)
-
3!
fu-sinxとおくと、f(n=cost, fin=sint, f(x)=-cosx,
fw) = sinx, f¹³/w=cosx, f(x)=-sinx, f(x)=-cosx F)
ffx)=sint, f(x)=(x,
f10)=f(0)=f(1)=f(0)=0,f(0)=f(20)=1,f10=f70)=-1
これよりf(x)のx=0における7次近似式は
(sinx)=(osIt
(cosa) = -Sina
Pa
flox + 3!"
f(02x3+f5100x5+
7!
51
7!
=x-x+1/x5-11
よってSinxx-1+1/ズーカ+o(x)
sino=0.
COSO = 1
KOKUYO

ページ12:

No.
12
Date
P7 195
(1)
h
n = 0, 1, 2, 3
23.456.7
(sinx)=(-1)"cast, (Sinx)2"=(-1)"sinxより
17=0のとき (Sino)(n+1)=(-1)COSO=(-1)
(sino) (2) = (-1)" sind = 0
①、②より n=0のとき Sin0=0, (sin0)'=(-1)=1
②
の
n=1のとき
(Sino)" =0, (Sino)" = (-1)'= -|
n=2のとき
(sino) = 0, (sino)$) = (-+1)² = 1
(sinoy=0, (Sin015)=(-1)2=1
n=3のとき
これよりSinxのx=0における7次近似式は
[smo)'s X5 +
(5)
(Sino)'x+(SinOx+
5!
(Sin)=0,
(sino)") =0, (Sino) = (-1)² = −1
(sino) ("x"
ク
7!
31
+
-
3!
よってsinx=x-3+京
(x")
15
(2) COS X = 1 - 2 x² + 1 + x² - 81 X6 + 0 (x(6)
2!
f(x)= cosxεtive. f'a) = -Sinx, f'(x)= - cosx, fix) = sinx
f = cosx, f(x)=-sinx, f'" = - cosx 5")
f10)= f70)=1, f(0)=f(0)=f(x)=0,f(0)=f(0)=-1
これよりf00のx=0における6次近似式は
Cossnu
4!
f10) +
2!
fl0 x +
P(4)
₤ (0) x4 + £200 x 6
6!
-x6
=1-2x+x-11
2!
15, 7 cost = 1 - 1 1 1² + 1/1 x + 1x6 +0 (x6).
2!

ページ13:

No. 13
Date
P7間5
P7 問5 (2) 別解 (COSx)" =(-1)"sinx, (cOSX)
(2n) = (-D) COSX
-
x=0のとき(COSO)=(-1)sino=0
(COSO)(20)=(-1)(OSD=(-1)
①、②よりη=0のとき COSO=1
n
②
(COSD)'=0,(COSO)"=(-1)'=-1
(COSO)=0, (cosO)(4)=(-1)4=1
n=1
n=2
n=3
(CDSD)(5)=0, (COSO)(6)=(-1=1
COSO +
x2+
これよりCOSXのx=0における6次近似式は
(COSO)"_ ((OSO)(4)
-x4+
(COSO)(6)
-x6
2!
4!
6!
=
T
十
ープ
C2!
4!
6!
よってWSX=1-12/217
-x² +
2!
2n+1
★一般に、x=0の近くで次の等式が成り立つ
sin x = x - 31 x 3³ + 5 + X 5 +
COSX=1-2x+
4!
Basic
X = (x + 1) F
-x² + 0 (x²)
++
(-1)^
+(-1)".
(2h)!
(2n+1)!
2n
x+o(x2)
x² +0 (x(24)
創 P35. 関数のx=1における4次近似式を求め、x=1の近くで
次の等式が成り立つことを証明せよ。
・1/2(スーリー(スーパ+店はーパー(メージ+0(12-14)
f(x)=√x kake. ƒ'α)= ± 1 ², fu) = − 4 x²², fw = z x =
グロー管でより
(x)
fa) = 1, f'm³ ½ · ƒ″a - - —, f(1) = 8, ₤"^" (17) = - 15
=
→次のページPKUYO

ページ14:

No.
148
Date
HP3 5
これよりf00の1における4次近似式は
→続き
fo
2!
(1-1)² +
-(x-1)²
[スーパ
for + fixx-v + fax-² + f α-v. Fav
f'(n(x-1)
3!
31
4!
1
155
=1+2/2a-D-本/u+ (スーパー・432(オーパ
3.2°
与
16 4.3.2.1
== 1 + — — —- (x-1) — — — — ( x − 1 )² + 1/16 (x-1) ³ - 11/28 (1-1) 4
-
店(パ
16
8
128
5 1 7 1 x = 1 + 1/1α (-1) — — — ( 1 − 1)² + 1 f (x-1)² = 1 - (x-1)² + 0 ((x-1) ² )
76
128
P76 関数 log(1+ズ)はx=0の近くで次のように表されることを証明せよ
log (1 + x) = x — — — x² + = x²- - + (-1)+ 1/x" +o (X")
-
f(x)= log(1x)とおくとf.co)=log1=0
f(x)=(1+人) より f'(0) = 1
₤" (x) = - (1+1)²² 81 f" (0) = -1
f(x)=2(1+才)より(0)=2
fin) W-1
fam)(x)=(-1) (n-1)!(1+x)より+10)=(-1) (n-1)!
これよりf(x)のx=0におけるn次近似式は
f(0)+f(0)x+
+
2!
3!
3
3.2
=-2x++
++
n!
(-1) + (n-1)!n
h.(n-1)!
=1/2x2+1+…+(1/1
1/2x²
log(+1)=x2/2+1/32
T 0
よって
log (x+1) = x - 1 x² + =—=— x²+ ··· + (-1)" \([^x^" + ((")