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Y5a,b を実数の定数とする。 xの3次式
P(x) = x3 +ax²+x+b
があり,3次方程式P(x)=0の解の1つは1である。
(1) bをαを用いて表せ。
(2)3次方程式P(x)=0虚数解をもつとき, αのとり得る値の
範囲を求めよ。
(3)(2)のとき,3次方程式P(x)=0の虚数解をα,βとし,
Q=(x-1)^+(β-1)とする。 Qをαを用いて表せ。 また,
aが(2)で求めた範囲で変化するとき,Qのとり得る値の範囲
を求めよ。
(配点 50)

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令和7年度4月進研記述高3模試 @自学
(1) P(1)=0 より 13 + α.12 +1 + b = 0 ∴. b=-a-2圈
(2)
(1)より
P(x) = x3 +ax²+x-a-2
因数分解してP(x)=(x-1){x2+(a+1)x+a+2}
+1 +a
+1 -a-2 |1
+1 +a+1 +a+2
+1 +a+1 +a+2 0
P(x)が虚数解をもつには、x2 + (a +1)x + α + 2 = 0 …※
が虚数解を持てばよく、 ※の判別式をDとするとD<0と
なればよい。
D=(a+1)2-4(a + 2) = a²−2a-7 < 0
..1-2√2 <a<1+ 2√2