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2024 年度 10 月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学 @Akagi X 問題 | X10 △ABCは,AB=AC=√21,∠BAC=120°の二等辺三角形であ り,△ABCの外接円を0とする。 円0の頂点 A を含まない弧 BC 上 に, BD = 6 となる点 D をとる。 (1) 辺 BC の長さを求めよ。 また,円0の半径を求めよ。 (2)線分 CD の長さを求めよ。 (3)点Eを線分 BE が円 0 の直径であるようにとり, 直線 CD と BE の交点をFとする。 線分 DF の長さを求めよ。 (配点 40 )
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自学 @Akagi A 120° (1) AB=AC=√21,∠BAC=120° ▷ 辺 BC B △ABC で余弦定理により BC² = (√√21)² + (√21)² − 2 × √21 × √√21 × cos120° =21+21-2×21×(-12) = 63 BC>0より BC =3√7圀 ▷ 円 0 の半径 F キ C E 円0の半径(△ABCの外接円の半径)をR とすると、 正弦定理により 2R = よって BC = 3√7 ÷ √√√3 =2√21 2 sin 120° R=√21
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(2) BD=6 ▷ 線分 CD 円に内接する四角形の向かい B 合う角の和は180℃だから <BDC= 60° CD=xとおき、 ▲BDC で余弦定理により (3√7)²=62+x²-2x6xxx cos60° 整理して x2-6x-27= 0 2次方程式を解くと (x+3)(x-9)=0 x>0より A 120° x =9劄 LL F キ E
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(3) 線分 DF △DBF+ △DEF = △BDE でいきます A 直径に対する円周角は90° だから ∠ADE = 90° 120° これと、 ∠BDE = 60° より B ∠EDF = 30° また、BE は円の直径だから BE =2R=2√21 よって、 直角三角形 BDE で三平方の定理により DE=√(2√21)^-62 = 4√3 ○ △DBF の面積 S si=1xe 3√3 x 6 x DF x sin 60° = DF ○ △DEF の面積 1 S2 = 2 ○ △BDE の面積 S=6x4√3÷2=12√3 -x 4√3 x DF × sin 30°= = 3DF S,+S2 =Sより 3√3 -DF+√3DF=12~3 2 したがって DF - 24 E
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