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2021 年度7月高2 進研模試 小問集合♡
B1 次の
を正しくうめよ。 ただし, 解答欄には答えのみを記入せよ。
(1) ax-a²+5x - 5αを因数分解すると,
となる。
(2)
aは実数とする。 命題「a=-1⇒α=1」の逆と対偶の真偽について,
である。
ら一つ選び、記号で答えよ。
1 逆, 対偶ともに真
3 逆は偽, 対偶は真
に当てはまる正しいものを,次の1~4のうちか
2 逆は真, 対偶は偽
4 逆, 対偶ともに偽
(3) 2次関数 f(x)=a(x-1)^+bがある。 ただし, a,bは定数であり,
a>0とする。 0≦x≦3 における f (x) の最大値が2, 最小値が-6
であるとき, a=|
b=
,
である。
(4)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の9個の数から異なる3個の数を選ぶとき,
選び方は全部で
通りある。また,このうち, 選んだ3個の数
の積が奇数となる選び方は全部で
通りある。

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(5) ある高校の生徒 15人のハンドボール投げの記録を,「0m以上5m未満」
のように 5mごとの区間に分けてヒストグラムにまとめると、 右のようになっ
た。この記録を箱ひげ図にまとめたものとして適切なものは,
ある。
で
に当てはまるものを、次の1~4のうちから一つ選び, 番号
で答えよ。
(人)
1
54
3
2
1
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 (m)
2
5 10 15 20 25 30 35 40 45 (m)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 (m)
3
4
5 10 15 20 25 30 35 40 45 (m)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 (m)

ページ3:

解答&プチ解説
(1)次数の低いxについて降べきの順に整理すると
ax-a
-a²+5x-5a= (a+5)x-a(a+5)
(2) 命題「 a = -1 ⇒ α^ =1」
=(a+5)(x-a)
逆「a²=1⇒ a=−1」 : 偽 (反例a=1)
対偶「 a² ≠1⇒ a ≠ -1」:真 (命題と対偶の真偽は一致する) 3
(3)下に凸の放物線の軸x=1が区間 0≦x≦ 3の中央より左にあるので
x=3のとき最大, 最大値 f(3) = a(3-1)^+b= 2 ...①
x=1のとき最小, 最小値 f (1) = a(1-1)^ + b = -6
②より
b=-6
これを①へ代入して 4a-6=2→ a = 2 a=2,b=-6
(4)1~9 から異なる3個の選び方は全部で
9×8×7
9C3 =
= 84 通り
3×2×1
3個の数の積が奇数となるにはすべて奇数である場合である。
1, 3, 5, 7, 9の5個から異なる3個を選ぶ選び方は
5×4
5
C3=5C2
=
=
=10通り
2x1
(5) 第1四分位数
...22.5m
第2四分位数(中央値)
...27.5m
第3四分位数
...32.5m
最小値
...17.5m
最大値
...42.5m
3

ページ4:

B 3 △ABCにおいて, AB = 5, AC = 7,
cos ZBAC
今である
である。
(1) 辺BCの長さを求めよ。
(2) 平面 ABC 上にない点 D をとり,四面体 ABCD をつくる。
√21
sin∠ADC
=
COS ∠CAD
=-
7
・のとき, 辺 CD および
7
辺AD の長さを求めよ。
(3)(2)において, BC = BD であるとき, 四面体 ABCD の体積を
求めよ。
(配点20)

ページ5:

(I) 余弦定理を利用すると
解答例&プチ解説
BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × ACx cos /BAC
= 5° +72-2×5×7×;
=64
BC>0より
BC=8
7
5,
B

ページ6:

(2)△ADCで正弦定理を利用する
ために、sin∠CAD の値を求める。
7
5
sin ∠CAD = √1-cos? ∠CAD
B
8
4√3
2
=
=
7
D
(∵sin∠CAD>0)
よって, △ADCで正弦定理を利用すると
CD
sin ∠CAD
AC
4√√3
⇒ CD
-x7÷ 4√7
sin∠ADC
7
/21
7
また,△ADCで余弦定理を利用する。
DC2 = AD2 + AC2 - 2 × AD × AC x cos ∠CAD
AD = x とおくと
(4√7)^2=x2+72-2xx×7×(-2)
整理して2次方程式を解くと
x2+2x-63=0
ゆえに
AD=7
(x+9)(x-7)=0 : x=7(∵x > 0)

ページ7:

5
A
B
F
6
√21
000
B
F
△ABEで余弦定理を利用すると
E
AE' + BE-AB2
Aから
面 BCD に
下ろした垂線
D
DE の中点
COS ∠AEB
=
2 × AE×BE
=
(V21)2 +62-52
8
2×√21×6
6
D 2√7
E
3√√√21
8
5√5
相互関係より sin ∠AEB
=
3√21
3√√21
△AFE に注目して、お目当てのAFの長さを求めると
AF
=
= sin∠AEB より
AE
・Xv
/21
5√5
=
3
AF=
5√5
3√√√21
･･･①(四面体の高さ)
また、四面体 ABCD の底面 BDC の面積は
D 2√7
E
DC×BEx-
11/2=4√7×6×1/2=12√7.②(四面体の底面積)
①,②より、四面体 ABCD の体積は
△BCD × AFx-
5√51
12√√7× ×
Fx/=12v
1 20√35
計算に自信なし!
3 3
3
21

ページ8:

B4 2つの整式
P(x) = x + x+a
Q(x) = x2 + x + 2a + b
があり,P(1) =Q(1)=0である。 また, R(x) = P(x) +kQ(x)とする。
ただし, a, b, kは実数の定数とする。
(1) a,bの値をそれぞれ求めよ。
(2) R(x)を因数分解せよ。
(3)方程式 R(x)=0が異なる2つの虚数解をもつとき, kのとり得る値の
範囲を求めよ。また,この2つの虚数解の部が√3およびV3である
とき, kの値を求めよ。
(配点 20 )

ページ9:

(1)
解答例&プチ解説
P(1) = Q(1) = 0) P(1)=13+1+a=0
①より
Q(1) = 1²+1+2a+b=0.2
a = -2
これを②へ代入してb=2
Ans. a-2, b = 2
(2) R(x) = P(x)+kQ(x) = (x³ + x − 2) + k(x² + x − 2)
= x² + kx² +(k+1)x−2(k+1)
R(1) =0だから因数定理より
= (x − 1){x² +(k+1)x+2(k+1)}
Ans. (x-1){x² +(k+1)x+2(k+1)}
x²+(k+1)x + 2 (k + 1)
2
x-1) x 3+ k x² + (k + 1 ) x − 2 (k + 1)
3_
2
X
X
(k + 1) x
2
+(k+1) x
(k + 1) x
2
(k + 1 ) x
2 (k+1) x
2 (k + 1)
2(k+1) x
2 (k + 1)
0

ページ10:

(3)R(x)=0が異なる2つの虚数解をもつ
⇔ x2 + (k + 1)x + 2(k + 1) = 0 …※ が異なる2つの虚数解をもつ
※の判別式D< 0
※の判別式をDとすると D = (k +1)^ - 8(k + 1)
= k2-6k-7.※※
※※が負となればよいので
k2-6k-7 < 0
∴
(k +1)(k-7) < 0
-1<k < 7
Ans. -1<k < 7
また,※解はx=
-(k +1)±√(k +1)^ - 4.2(k + 1)
2
k+1Vk2-6k-7
±
2
虚部
k +1
-(k2-6k-7)
2
2
この解の虚部が3および-√3なので
√- (k2-6k-7)
2
=
v
両辺を2乗して整理し, 方程式を解くと
-(k² -6k-7)
4
= 3
k2-6k+5=0
(k + 1)(k +5)=0
k=-1, -5
Ans. k=-1, -5

ページ11:

B5 座標平面上に, 点A(1,2)を中心とし、原点を通る円 C がある。
円Cとx軸の交点のうち, 原点と異なる点をBとし, 点Bにおける円 C
の接線を l とする。
(I) 線分 OAの長さを求めよ。 また, 円 C の方程式を求めよ。
(2) 直線lの方程式を求めよ。 また, 直線 l と直線OAの交点をDとする
とき,点 D の座標を求めよ。
(3)(2)の点D を通る円Cの接線のうち, l と異なるものを l'とする。
直線l'の方程式を求めよ。 さらに, l'とy軸の交点をEとするとき,
△ADE の面積を求めよ。
(配点 20 )

ページ12:

(1) 2点間の距離の公式より
解答例 & プチ解説
OA=√(1-0)^2+(2-0)^ = √5
ACは中心(1,2), 半径√5 だから
(x-1)^+(y-2)^ = 5 …①
(2) 円Cとx軸との交点を求める。 ①にy=0を代入して解くと
(x-1)^+(0-2)^=5
(x-1)^=1
x = ±1+1
x=2,0
点Bのx座標は0ではないのでx = 2 だから B(2,0)である。
円C (x-1)^+(y-2)^=5上の点(2,0)を通る接線の方程式は
(2-1)(x-1)+(0-2)(y - 2) = 5
x-1-2y+4=5
x-2y=2(y=
=11x-1)
また, 直線 OA は傾き2の比例の直線だから
OA: y = 2x
l:y=1/2x-1
これらを連立させて解くと
2
4
x=
y = 点D(-
3
@Cikagi

ページ13:

(3) 直線l'の式を y-y'=m(x-x')とする。点D(-
4
から
y + 1 ½ = (x + 3) -
y+
3
2
3
'
)を通る
3
→ 3mx-3y +2m-4 = 0 …②
ここで,直線②と円Cの中心(1, 2)との距離は,円の半径 √5 と等しい
|3m×1-3×2+2m-4|
√(3m)² + (−3)²
ので
整理して
|5m-10| = J5
= √√5
3√√√m² +1
=
5|m-2| =3√5m² +5
両辺を2乗して
25(m-2)^ = 9(5m² +5)
25(m² -4m+4) = 45m² + 45
20m² +100m-55=0
4m² +20m-11=0
(2m+11)(2m-1)=0
11
m
-より m=
より
ゆえに,求める方程式は
3
すなわち
=
11
2
-(x+
( x + 1})}
y= -x-5
2
2
△ADE = △ODE+△OEA = 5×
3
12+5x1x/12
25
=
2|6|
@Cikagi

ページ14:

B6 0についての方程式
cos20-2sin0 + 1 = a (0≦0 <2π)
①
がある。 ただし, a は定数とする。
(1) t = sin 0 とおくとき, cos20をt を用いて表せ。
5
(2)
a =
のとき, 方程式 ①を満たす0の値を求めよ。
(3) 方程式 ①を満たす0の値がちょうど3個となるようなαの値を求めよ。
また,そのときの日の値を求めよ。
(配点 20)

ページ15:

(1)
t = sin 0 とおく。
解答例 & プチ解説
加法定理より cos 20 = cos(θ+日)=cosocose-sin Osine
=cos20-sin2日
=(1-sin^0)-sin'0
=1-2sin20
=1-2t2
Ans. cos20=1-2t2
5
(2)
a = ・のとき, 方程式①は
cos 20-2sin0 +1 =
2
5
t =
= sin 0 とおくと, (1) より
(1-2t2)-2t+1=
-2
整理して
4t2 + 4t + 1 = 0
因数分解すると
(2t + 1) = 0
すなわち
t=
もとに戻すと
7
0≦0 <2πより
0=
兀,
1
--
sin 0 =
2
-
1
2
π Ans.0=
7
兀,
6
1-6
11
一π

ページ16:

(3)
t = = sin 0 とおくと①の左辺は
-2t2-2t+2
※を f(t)とすると
5
f(t) = -2t2-2t + 2
5
= 201+1/232+1/2
=-2(t+
-1≦t ≦1より f(-12)=12, f(-1)=2,f(1)=-2
y=f(t) のグラフをお絵かきすると
0が2個
y=a
0が1個
縮尺が変だけどる
y=f(t)
-2
図より, a= =2のとき放物線y=f(t)と直線y=aの交点が2個となり,
0の値は3個となる。
t = sin0=0
のとき, 0 = 0,π
3
t = sin0=-1 のとき,
==π
Ans. a=2, 0 = 0, π,
一π
3|2|

ページ17:

B7
等差数列{a}があり,α3=5, a,+α」=9 を満たしている。
(1) 数列{a}の初項と公差を求めよ。
(2) S,
n
=
n
k=1
(ak-2)(ak-1) (n = 1, 2, 3, …) とするとき, Sn
をn を用いて表せ。
n
(3)(2)のとき,Th
=
k=1
k
用いて表せ。
(n = 1, 2, 3, …………)とする。Tをnを
@Cikagi
(配点 20 点)

ページ18:

解答例 & プチ解説
(I) 求める等差数列の一般項をa„= a +(n-1)d とする。
03=5より
a₁ +(3-1)d=5
=9より a₁ +a₁ + (4−1)d = 9
①の②の連立方程式を解くと, a, = 3,d=1
答え 初項 3, 公差 1
…①
..a₁ +2d = 5
2a, +3d=9...2
(2)a=3+(n-1)・1=n+2より,与式を変形すると
n
n
S„ = Σ (ak − 2)(ak − 1) = Σ (k + 2 − 2)(k +2 −1)
(3) T
n
=
k=1
=W
k=1
n
=
n
k=1
k
3
=
k=1
n
Σk(k+1)
k=1
n
= Σ (k² + k)
k=1
n
=
k
n
3
n
(n+1)(2n+1)+−(n+1)
(n+1)(n+2)
(k+1)(k +2)
=3+1 +2
k=1
=3倍+1
34
=
n
Σ
+1 / (+1)
3
k=1 (k+1)(k +2)
部分分数分解する
1
1
+
)+
n
n+1
`n +1
= 3(-
=361=3
3n
3.
2
n+2
2(n+2)
2n+4
n
n+2
}}