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数学

東京医科歯科大数学(関数方程式その2)

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ルーシー

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微分可能な関数f(x),g(x)が次の4条件を満たしている。
(a)任意の正の実数xについてf(x)>0,g(x)>0
(b)任意の実数xについてf(−x)=f(x),g(−x)=−g(x)
(c)任意の実数x,yについてf(x +y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
(d)lim(x→0)g(x)/x=2
このとき,以下の各問いに答えよ。
(1)f(0)およびg(0)を求めよ。
(2){f(x)}^2−{g(x)}^2を求めよ。
(3)lim(x→0){1−f(x)}/x^2を求めよ。
(4)f(x)の導関数をg(x)を用いて表せ。
(5)曲線y=f(x)g(x),直線x=a(a>0)およびx軸で囲まれる図形の面積が1のとき,f(a)の値を求めよ。
(東京医科歯科大)

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