ページ1:

1.逆三角関数
y=s/nx
y=co3
y=tanx
<グラフ>
逆関数
D
=arcsing (=sin() 定義域-1≦ys
x=arccosy (x=cos-ly) 定義域-1sysl
x=arctany (x=taly) 全実数で定義される
y=arctana
y=arcsinx
y = arccos d
y=sinx,y=cosox,y=tanaのグラフを横に倒した感じになる
☆逆三角関数の導関数
dy
逆関数の微分の公式を使う:
(x=siny)
y=arcsino
dy
du de cosy √1-sinty
dy
arccosx
(π=cosy)
sing
√1-00524
応
y
-= arctande (π=tany)
1
ittaniy
1+31²
cos'y
-3AT 7mm

ページ2:

2
arcsin を用いた重要な積分
=1/2x+aarczin/
証明 (2通りでする)
1.部分積分を用いた証明
f√at-x+ du = f x'ja²¬x² dx = x²-** — [×sa²¬x*)'dx = xsa²x² + [×]
-
-
== x ja²= x² + (x²=a² + a² dx = x/a²x² - [√a^-x+da+fd
2 √ √₁²=x² du = _x√â²-x². + fa² de
si=at とおくとdu=adt より
出発した式!
-da
ai_natyradt = fits at = adarcoint=azarcoin会となる
a-(at)=
d=1/2(sin)
2. 置換積分を用いた証明
ロ
llaであるのでル=asinus)とおける (u=arcsin/)
「の中のは正でなければならない)
するとd=acosu du であるから、
]jät-x³ du = ] ♫a²-atsintu - acosudu =
- a²sintu · acosudu = a² f cos³u du = ^ ² (cos2u + 1) du
adcoszu=acosuiのもとではcosu≧0)
==² (±sin2u+u) - ² (inucosu+u) = ±(asinu. ja²-atsintu +atu)
2
=1/2(2ax+aturasin/)
0

ページ3:

☆ arctanxの級数表示
00
larctanx=
(-1)
20+1.
ニール・
n=02n+1
π
tim (-1) k
nokio 2k+T
Cate
3
証明
有限等比級数の和の公式に
より、広が
an+1
1-a
ここではニームスとすると(これによりポートとなることはない)=(げい
1+4²
両辺をれについて0からでまで積分すると、
du
(-1)+12+2
=
du
1+42
Rm(x)とおく
(一
12k+1.
arctang
2k+1
ル
+Rm(31)
①
| Ra{x} } = | | (-1) "^ | | 2m+2)
1+42
PL
(-1)+1424+2
du ≤
du =
u
2n+
du
10
1+42
11+4²
Clal
2n+2
=-42n+2√3 =
131/2073
V
2n+3
のもとでは1km(201
→D(m→∞)なので、limRn(x)=0
2n+3
118
よって-1≦a≦1のもとで①の両辺でん→∞とすると arctanx=
→この結果でったとするとarctan1=4=1-1/+13-1
☆問題
1.入>0のときarctanatarctan/1/21=1/2を示せ
noo 2n+1
(-1)"
MED 2+1
(-1)"
24+1
(-15-451
となる

ページ4:

2.楕円 +器=1 (a,b>0)の内部の面積を求めよ.
3. 次の関数を微分せよ。
(1)
arctin
次の関数を積分せよ。
(1)
(31+1)2
リール
(2) arcsin
1+2
(2)
(3)
arctanx
1+x2

ページ5:

No
5
Date
☆問題解答
y=arctanoとするとx>0ならばO<<であるので、日は下図のような直角三角
形の一角として表せる
0
-x=tand = A ++02:
11/21=1=tan(2-0)で、arctan
a
したがってaratanxt arctan1/12=0+(12/20)=1/2
口
2、
楕円は第1象限しかな>0)では
求める面積は、
ペールとかけるので、楕円の対称性より
第1象限の部分の面積を
4倍すればよい
4. f^² 1 √a² = x² dx = + b 1 [ x\/a² = x²+aªarcsin±]^
- 2b
a
= rab
2
(arcsinx) =
x
2
(2)
Arcsin.
=
arcsina
arcino
(1-2) 200
-(1-x)-(1-x)
(173)2
-2
2
=
(+)
√(1+x)² -(1-31²) 1+x

ページ6:

b
dx =
dx =
(x+1)²
JL
dat
==-26x² + 1) + 2(2 + 1) dx = -2(x² + 1) + + arctanx
u = √x²-1-(x, x = √Ju²+1, u² = x²-18³) 2n du
• Set dr = Julia jun 1 du = Su
1
= 2x1
du=
-du
Ju²+ T
· du = arctanu = arctanp₁²-I
[ 4 (») 3 (2) da = { {4 (2)} ² 2 1 - 3 - ( + {{}]}]) = (6) 3×1543)
arctana
1+312
· dx = farctanx (arctanx) dx = {(arctanx)²