ノートテキスト
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4.物理への応用(弦の振動) (9)連続体の運動方程式 目標 弦の運動方程式から波動方程式を導く 振幅が小さい時に成り立つことを分かる テーラー展開をどこで使うか 目次 (1)問題意識 (2) 導出 (3)まとめと考察 (1)弦の振動 巻の u(x,t) u(x,t) 大:時刻 →そ u(x,t)が従う方程式は? u(x,t) u(x,t) T 波動方程式 8:弦の線密度 T:弦の張力 (2)運動方程式 拡大図 18 張力 質量m ju(x,t) →x x x+dx TRO Tam 工の水平方向の成分 垂直方向 Q:注目している弦の部分の傾き ~花をdxの弦に加わる力 水平方向: Torel-Tazo € 100 Tam O - Tim O' 水平方向には動かないので、運動方程式は *+50 TORO - TCOR O' 垂直方向 amgu(x,x) - Tam-Tam O' at ※注目している弦の部分の質量
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0.0′が充分小さい CARO = 1, cost' = 1 in = 0; sin' = 0"'" これを①に代入 0=T-T Am ・・・② ju(x,t)TO-TO'…③ at ②を使って③を書き換えると 0.0′の計算 == TOTO' = T(0-0) ここをムシする 50 Du(x,t) Ju(x+dx.t) x+dx →x tano's ulxdx,t)-u(x,t) da dx→0で au(x,t) Aan O'- ax 10'は充分小さいのでtano'='だから au(x,t) = Jx ④ 目については④のxをx+dxにずらせばよいから au(x+dx,t) o- 2x これらを⑤に代入 △m u(x,t) lau(x+dx,t) au(x,t) =7 22 2x ax dxは充分小さいので au(x+dx,t) ax をdxについてテーラー展開すると KICKUVO LOOSE-LEAR
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au(x+dx,t) ju(x,t)+
j2u(x,t)
dx.
ax
ox
8x2
これを⑥に代入してdx以上を無視すると
△m
272
両辺をdxで割って
Sulxt) = T {dx ou (x *) }
m
00
とすれば導ける
↑
dx以上の項
(3)テーラー展開をどこに使ったか
①式までは使ってない
小さい量が2つある(仮定)
①00
②d:dx→0を連続極限という
*①について
0.0が小さい=弦がx軸とほぼ平行
TO
u(x,t)
旅の両端は固定されているので
軸とほぼ平行になるためには
u(x,t)は小さいことが必要
u(x.) 法
u(x,t)が小さいことが仮定されている
①から
0 = 1, WORD = 1
Aan = 0, Xan' =
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②から Aand'- Ju (x.x) x Aand = u(x+dx.N dx さらにこれをテーラー展開 au(x,t) T 2+2 2x2 波動方程式 624(x.*) u(x,t)が充分小さくないと成り立たない 空間の2階分が大きい程、加速度大 加速 加速大 波動との関係は4.(C)で説明する
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(b)弦の振動モード 目標 弦の振動モードとは何かを分かる 与えられた境界条件のもとでモードを求められる ようになる 各モードの弦の形を分かる 目次 (1)問題設定と戦略 (2)モードの導出 (3)境界条件 (4)まとめと考察 (1) 両端が固定されている x=L u(ot)=u(2,x)=0 固定 →x x=0 u(x,t) u(x,t) 6 波動方程式 両端が固定 272 u 境界条件(x=0とx=人の条件) u(ot)=u(2,t)=0 初期条件(オーロの条件) u(x,0)=f(x) f(x):与えられた人の関数 これらの条件のもとで大ンDのu(x,t)は 戦略:重ね合わせの原理を使う ど うなるか 重ね合わせの原理 u(x,t).ux(x,t), c,k,(xt)+Cake(x,t) Un(x,t)が各々①の解 +Cnux (x,t) + Cx Un (x,A) も①の解になっている 2100にしても成り立つ (Cn:任意の定数) と すると
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特に①と境界条件をみたす解を無限個もってきて Cuun(x.0)=f(x) となるように足合わせることが出来たなら (C1C2,…, Cnを決めることが出来たなら) CnUn (x. *) n=1 が初期条件を満たす解になっている このu(x,t)、U2(x,t)...をモードとい という (2)n番目のモードをun(x,t)として Un(x,t) of Cox(wt+8) の形の解を探す u(x,t)は大だけでなくxに依存するので Un(x,t)=A(x) co(wt+8) ② とする(仮定)w,8は定数、A(x)はこれから決める関数 A(x)の計算 ②①に代入 (wt+)の2階微分は ①の左辺に代入 -wA(x) az(wt+8) ware (wt+8)だから to 2 = T 右辺の微分はA(x)にしか作用しないので d2A(火) ar(ut+8) dx2 左辺・右辺をCoat+8)で割ると dA(x) ③ dx² -WA(x)-T A(x)がこの式を満たせば②は①の解となる A(x)=Asin(px+0)④ この方程式の解は上式で与えられる A.2.0は定数2.0はあとで決める
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∵)④を③に代入すると③を導くのと同じ計算 1mm (px: 0) = Tx - p. A mm (px + 0) -wo Al 両辺をAmi(px+D)で割ると wo. Tp² 両辺を割ってルートをかけると w= ⑤ 波動方程式の分散関係 ⑤が成り立てば④は③の解となる (3)力と日はまだ決まっていない 境界条件で1.0を決める ②を境界条件u(o.t)=u(2,t)=0に代入 u(ot)=A(0) Cox(wt+8)=0 u(2,t) A(L) Cox(ut+8)=0 全ての大で0になるためにはA(0)=A(2) = 0 L:族の長さ ④にx=0を代入 A(0)=Azmd=0 A=0はすべての式でA(x)=0だから不採用 そこで、Azo=0を満たすにはD=0 あるいは8:0 ①につく、目を代入 Amin(pl)=0 これは で満たされる n=1.2.····· その値が違えば違うモードになる n=12.…それは無限個あるので無限個のモードを 用意できる 中はれたよるのでPに置き換える いもあによるのでその添え字を付けて T -Wn = 1J Pn
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(4) Un(x,t)-A(x) coz (Wnt+8n) A(x)=Anzin(Pmx) πC Pn= =1.2. wn= L 〒 6 モードの性質 1つのモードはCore (wat+8m)で振動する 単振動 u(x,t) www モードの空間的な形も三角関数で表せる 波数はPa 振動数と波数に関係がある(分散関係) モードの形 (壁) A(x)=0は n=1 両端以外にない L AG-0 A(x)=0は n=2 2EX 7.3 in (3πx) 西崎以外に 11つある 2つある
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Caun(x,t)に代入 21-1 Cn. An im (Px x) con (wat + Sn) 今の場合、Amはまだ決まっていないので CmAn Anとしてもよい 大=0で Ann (Px) cox dx = f(x) となるようにAmを決める (C)初期値問題と自由端 目標 任意の初期条件でフーリエ級数を使った 波動方程式の解き方を分かる 目次 (1)問題設定 (2)初期値問題とフーリエ級数 (3)具体例 (4)まとめと考察 (1)オ=0,u(x,O)=f(x) 波動方程式 大0.U(2.0)=f(x) lau(x,t) = 10 Du at to f(x)がモードに等しければ弦の振動は振幅がf(x の単振動となる f(x)≠A(x)の時は?
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D 境界条件 固定崎 u(0,x)=u(2,t)-0 自由端 au(x,t) au(x) = Jx Jx =0 x=L (2)重ね合わせの原理からすべてのモードを 足し合わせて u(x,t)=Anzin(Pax) cox(unt+8n) n-1 An,fnは定数これから決める ① =0で24(水) at 0を満たすようにgnを決める ①を大で微分して gulat) 2 ju(木) - An sin (Pn x) x (- Wna (wat + on)) at =1 An in (Pxx) (– We zin de) 11:0 だからすべてのんでfn=0とすれば 0 9:0 ju(x,t) 2大 は満たされる Anの決定:①に=0,dx=0を代入 (x.0) - Ana (Px)) u(x,0)=f(x)だから。 f(x)=Axai (Pa) ② Anをフーリエ級数で決める
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フーリエ級数 f(x)=ao+ance(mut)+banzai(net) 才をXに置き換える mwをPa匹に置き換える また f(x) 定義なし を奇関数と考える。 f(x) a L さらに同期さくの周期関数を仮定 f(x) 2 Osxく以外は定義がないので勝手に仮定できる 周期2人だからT=2 つまり、ao=an=0 f(x) (Paix) となって②と同じになる An=2f(x)ain(Pax)dx L
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(3)自由端 両端で弦の傾きは ○から導ける Ju (2.A) -o i >x まとめ 固定端u(at) Anz(Pmx) coz (wat) N=1 自由崎u(x,t) Am coz (Pnx) ooz(wat) n=0 1つのモードは単振動なので、一般的な解は 単振動の重ね合わせで書ける すべての波は単振動の重ね合わせで表せる Anはオ=0の波の形f(x)で決まる Snは初速口の条件から決まる
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