この証明には誤りがあるかと。
sin / x の零点を示していることから、
sin x / x の冪級数展開に因数定理を用いているように見えますが、
一般に因数定理は無限次元多項式に適用できないため、この証明では
示された乗積展開が成り立つとは限りません。
直接比をとって示すか、ワイエルシュトラスの因数分解定理を使われた方が良いかと。
ただ、この議論はあくまで形式的、直感的な理解の上では非常に面白いと思いますので、
どうかお気を悪くなさらないでください。