ページ1:

716 木
第1章 複素数平面
複素数 ath (a.bは実数)
部
数単位=-1
店軸
z+a+ut
数直線上
h
実数
Pla
(=F)
b=0のときatoi
ムキロのとき
ato 実数
2
a
a+bi 虚数
-34. 2-31
(さらにacoのとき
of ki
虚数)
複素数平面
Z=a+bi共役な複素数
z=a-bi
Zが実数 z=z
Z=1のとき惹三人
z=1+0
E=1-0
Zが純虚数=z
ふきのとき、長
8 = 0+22
= 0-22
Z=3+2とする
=3-22-Z=-3-2え
・ると…実軸に関して
Z3+21
→x軸
= 3+22
Zとー・・・原点に関して
対称
12.原点からの距離
絶対値
121=1-21=12=
121=2+22
JB
Z=athのとき 121
Sate
Zが実数のとき(z=a)
131 = √α²+0² = √√√α= =
lal
Zが虚数のとき(z=ki)
121=
√0'4' =
K3
7=-22
い
(-21
X

ページ2:

#4
(1) 3-21 3+(-2)= 3 (2) -2+42 √+2)*+4=
(3) -5
5
和と差
JB
(4) 3i
1321
3
d=3+2.1=2+4とするa+1=5+62
y
14
α+
α-ß=1-27
TY
2
x
α = athiz
23 5
平行四辺形
13=c+diとする。
(a-cx²+(b+dje
BCctdi)
--
Aca+hz)
X
A(α)、B(カ)のとき
AB
K-1
16-1
7A (2+3) B (1+62)
AB=1(+62)-(+32) |
= 1-1+371
= √10
(e) CD
α-13
(1-2)-(3-4)|
= 1-2+21
= √(2)+2*
=18=212

ページ3:

3点が一直線上にある条件
3点 A(α) B(β) C(8) が
-
直線上にある。
P(α)
B(P)
⇒1-△=k18-0)となる
実数Kが存在する。
特に原点と2点A(x) B(F)が一直線上にある
⇒ B=kxとなるkが存在する。
(数
例題1 X=オー、33=4+2と原点。
複素数の相等
1+2 = (x-2)
4 = -2x
4=kx
2=-k
k=-2
x=2
a+b=c+ di
>> a=ct's Mod
練8
=k(4+2)
x=4k-1=2k
k=-1/2
a=1+y2.13=3-62
=k(kは実数)+y=k(3-6)
X=4-=
x=-2
と原点O
k=1/
y=-6-1
を用いて表せる。 12=3k-bki
3k=1
y=-6k
y=-2

ページ4:

共役複素数の性質 ①X=a+bi、13=c+diとすると
α+B = + B
L+B = (a+c) + (e+d) i 25347
x+B = (a+c) (htα) i
2 α-B
=
2 - B
また
3 x3
=
+
= (a-h2) + (c-di)
④)
a
B
=
18/10
α= (a+hi) (c+di) =
よって
α B =
また
=
よって
= (a+c) (htd) i
α+1=2+万
A=X-M = 2 - B
act adit hci- hd
ac-hd + (ad+hc) i
(ac-hd)-(ad+hc) i
2.B = (a-hi) ((-di)
= ac-adi-uci-hd.
したがって
=
(
= (ac-ld) (ad+hc) i
α = B
athiz
c+di
= a-hi
C-di
=(a+b) (C-di)
(c+di) (c-di)
=
= ac-adi+her+hd
(ac+hd)-(ad-bc) i
c²+d2
c³ + d2
=
(ac+hd)+ (ad-hc) i
C²+d²
= (a-hi) (c+di) = ac-hci + ad z + hd
(C-di) (tdi)
(act hid)+(ad-hc) i
C²+d'
c²+do

ページ5:

例題4 α+13=1のとき十万
040=1の両辺の共役な複素数をとる。
2+6=7
2+7 = 1
1=1407
T= 1-0 i
練9
2+1+2 = 0 art 2+ F
α+B=-i
2+1=i
-2-0-2
x+1 = -i
-7=0+2
③万=およりさらに
⑤=ほどが成り立つ
Aaaa... a
(2)
=(3
個
例題 2
.
αは複素数
(2)=1のときは実数である。
=(灰)
○Z+区は実数である。(部+部)
z = 8 ① 121=82ではない。
Zatbiとすると
z=a-hi
z+= (a+b)+(ami)
=za←実数
zx2 = (a+h2)x (a-μl)
12/24匹の先約は
証明)=15-12-0
x2 = 1
よって文=文
//= ()=(ス)=
+=+
= 121°
121 = Sathi
であるからは
182=
(ath2)
実数である。(QED)
= a²+ Zali-h

ページ6:

複素数の形式
a
atbi
141 2=1+152
+3
argz
• = +2nx
(れは整数)
(2) 2+21
練!!
u) 3+ i
2
0 = 7
0 =
極形式
↓
Z=②(税込)
印
z=r(coso+isin(x)
2005 半径×偏角= argzl
(3) 1-i
= 2 (cos +sin)
=22 (as+sin)
=2(-sin)
= 2 {cos (-)+sin(-)}
r=lzl=atμ
a=roos a
b=rsino
x = a+b2
B=c+di
(a,b,c,d は実数)
2 = a-lit
のは実数である→x=(a-a)+(+)=0
検索数
↓ の相等
#
a-a=0 += 0
よってM=0〆は実数である。
10万+は実数
証)
aB = α = 23
〆の共約より
+=+頭は実数である。
(123) (3-4)+(1-22) (3+42) # Rx.
(2)人(=1のとき/+/1/23=4
lal=1よりag=1必ずこれを使う
よりの=1k=1/2-0
1=1より1
万=1/1-0
①と②より2/1/1=区十万(共約のたし算)
十万=なので
+1=2+1がゆえる。
(Q.E.D)

ページ7:

極形式
8=2r92
Z = α+42
b
(arg)
sin=
arcos = rsino
cos = 2 = r cos 0+ (rsinė) i
= (costising) *
2-2--2-r
・Zの偏角の1つは一日、その偏角の力は十
a
例題3
= {cos (-6)+ sin(-0)} (hz) - E = { cos (π-8)
-2 = (cos (8+)+ sin (0+x)} (-ax-3) +sin(1-0)}
1+67
= 2 (sin+cos)
13(1)
arg(-1)
x-0-2222 argz=0
↑(
2x12x=13
arg(-1)+0-22 arg==-=
⑥sin (α+r) =
極形式の積と商指数の考え方と同じaxat=a
sin a cosß + cos α sin ß
aza = a'
(2+4)
(9-3)
sin (α-A) =
cos (at) =
cos x cos ß - sina sin @
3382
*
E-
cos (α-B) =
+
x= (cos + sin₁) (= √₂ (cos &₂+ sino₂) az ±
KB =
Virz (Cosicos + Ċ cos D₁ sind z + sin ₁cos Oz - sin Orsing)
= ritz {(costicos - sino, sin ₂) + i (cos &₁sino + sin ces
= hir₂ { cos (81+0) + sin (1+0) }
1031 = 1431
= h rz
argaß = Bit₂ = argα+ arg B
• {005 (01-02) + sin (01-02)} |
arg 1-2= argα-arg B

ページ8:

13x=212 {sin + cos }
ß= 2{sin+cos
(2F)=64
x=212 {sin+cos }} + {sin + cos t
B
-64
=cs + sin() nx₤
-412 (sin cos)
= 22 {sin+cos + 2 {sin + cos
13 (sin + cos)
2rrcos (0-0) + i sin (0-0)
94
na
n2
※偏角について
+2kは無視!!
2 = (cos no + sinne) 12" | = |=1^=^
argz" harg z = no.
logみたい!!
(2/2)* (cos(x) (x))
練14 (10P1=6
(2) |α = 8
N|M
11 = (argargz-args)
X
(4)
=
101 / (arg=
4
(arg &= arg 3-arg 4)