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学年末考査対策 (積分方程式) ©Akagi
⑧ 関数 f(x), g(x)が次の2つの等式を満たすとき、 定数 αおよび関数 f(x)
を求めよ.
[S, ƒ (t)dt=xg(x)=2ax+2
g(x) = x²-xƒ (t)dt-3
解答例&プチ解説©Akagi
2つのうち、積分区間に着目するほうのパターン
S* f (t)dt = xg(x) = 2ax + 2
g(x) = x² - x√ ƒ (t)dt – 3
‣
①で、x=0とすると
[ f(r)dt = 2 ⇒
=
So ƒ (t) dt = −2
③②へ代入すると
④を①へ代入すると
⑤で、x=1とすると
g(x) = x²-xx(-2)-3
· '. g(x) = x² + 2x-3
ſ* ƒ (t)dt = x(x² + 2x − 3) − 2ax + 2
-
④
·· ſ* ƒ (t)dt = x² + 2x² − (2a+3)x+2③
-
S' ƒ (t)dt = 1³ + 2 × 1² − (2a+3)×1+2
..0=1+2 (2a+3)+2
.. a = 1
-
©Ta=1&fXT_ [*ƒ(t)dt = x³ + 2x² − 5x+2
両辺を xで微分すると f(x) = 3x2 + 4x-5