ページ3:

演習問題②
1枚の硬貨を5回投げるとき,少なくとも2回表が出る確率を求め
よ。
◆解答例 2
1
準備:表が出る確率
裏が出る確率
2
1-2
「少なくとも2回表が出る」
の余事象は
「1回しか表が出ない,または1回も表が出ない」
の二通りである。
▷1回しか表が出ない確率は,C,
=
5
32
1
▷1回も表が出ない (5回とも裏が出る)確率は
=
1
32
これらは互いに排反なので、1回しか表が出ない,または1回も表
が出ない確率は
5 1 6 3
+
=
32 32 32 16
よって、少なくとも2回表が出る確率は
3 13
1
=
16
16

ページ4:

>演習問題 3
6枚の硬貨を同時に投げるとき, ちょうど4枚表が出る確率を
求めよ。
◆解答例 3
1
1
準備 : 表が出る確率一
裏が出る確率
-
2
2
6枚の硬貨を同時に投げるとき, 1枚1枚を独立な試行と考えること
ができるので、1枚の硬貨をくり返し6回投げる反復試行として取り
扱える。
15
CA
=―
64

ページ5:

先に n回勝利したものを優勝とするゲーム
◆優勝するためには 「勝ち」で終わることに注目する!
以下の手順で考えるといいかも
◆優勝が決まる1試合前までの勝敗を考える。
◆最終試合の勝敗を考える。
反復試行の確率の公式を正確に用いて求める。

ページ6:

◆演習問題 1
Aさん, Bさんの2人が1枚ずつコインを投げ, 2人とも表なら
Aさんの勝ち、それ以外のときはBさんの勝ちとなるゲームを行う。
このゲームをくり返し行い, 先に3回勝った方を優勝とするとき
次の確率を求めよ。
(1) 4回目にAさんの優勝が決まる。
(2)Aさんが優勝する。
(3)5回目にBさんの優勝が決まる。
(4)Bさんが優勝する。

ページ7:

◆解答例 1
1 1 1
準備:1回行ったとき Aさんが勝つ確率はx==
2
2 4
1 3
Bさんが勝つ確率は1-
=
4 4
(1) 4回目にAさんの優勝が決まるのは, Aさんの2勝1敗でむかえた
4回目にAさんが勝てばよい。
3回目までにAさんが2勝1敗となる確率は3C2 (1) 2
・4回目の試合でAさんが勝つ確率は
4
これらが同時に起こればよいので、確率の積の法則より
3C2
・
1 9
256
× =
4
(2)Aさんが優勝するのは次の三通りある。
① 3回目にAさんの優勝が決まる。→
②4回目にAさんの優勝が決まる。→
③ 5回目にAさんの優勝が決まる。
4
=
1
64
9
( (1) より)
256
・・・2勝2敗でむかえ (42
54
=
て,
256
かつAさんが勝てば(-) よいので,積の法則より
54 1 27
4
-X-=
256 4 512
①と②と③は同時に起こらない (互いに排反)ので、和の法則
より
1
+
9 27
+
64 256 512
=
8 +18 + 27 53
512
512

ページ8:

◆解答例 1
(3) 5回目にBさんの優勝が決まるのは, 2勝2敗でむかえた5回目
にBさんが勝てばよいので
3
2
4C2
4
4'
×
3
-
4
=
512
81
2勝2敗の確率
Bさんが勝つ確率
(4)Aさんが優勝する確率をすでに求めてあるので
余事象の考えが楽ちん♪
Bさんが優勝する確率=1-Aさんが優勝する確率
53
= 1
512
459
512

ページ9:

演習問題②
~同じパターンをもう一度~
A,Bの2チームがバレーボールの試合を行う。 各セットにおいて,
3
AがBに勝つ確率は一であり, 引き分けはない。 どちらかが先に3
4
セットを勝ち取ると優勝となる。 このとき, Aチームが優勝する確率
を求めよ。
◆解答例 2
3
準備:AがBに勝つ確率は
BがAに勝つ確率は
4
4
~Aチームが優勝するのは以下の三通り〜
(i)3セット目でAが勝つ。 (3連勝)
(ii)4セット目でAが勝つ。 (2勝1敗で4セット目にAが勝つ)
(iii) 5セット目でAが勝つ。 (2勝2敗で5セット目にAが勝つ)
(i) 3セット目でAが優勝を決める確率は
27
64
(ii) 4セット目でAが優勝を決める確率は
3C2
3 81
×
=
4 256
(iii)5セット目でAが優勝を決める確率は
4C2
1
2
×
3 162
4 1024
i〜iiiは互いに排反(同時に起こらない)なので,和の法則より
27 81 162
+
64 256 1024
432 + 324 + 162 459
1024
512

ページ10:

演習問題①
□ 点P は,数直線上の原点Oから出発し, さいころの出る目が5
以上ならば+2だけ, 4以下ならば-1だけ動く。
さいころを6回投げて, 点Pの座標がちょうど3になる確率を
求めよ。
P
古
2 -1 O 1
2
3
◆解答例 1
5以上の目が回出るとき, 4以下の目は (6-r) 回出ることになり,
このときの点Pの座標は
rx(+2) + (6-r)x(-1)=3r-6…①
①が3になるとき
3r-6=3
r=3
つまり,5以上の目が3回,4以下の目が3回出ればよいので,
反復試行の確率の公式より
C3
5以上の目が
出る確率
6x5x4 1
2
-x(-) x-
3×2×1 3
160
=
729
4以下の目が
出る確率

ページ11:

演習問題 2
x軸上に点Pがある。 さいころを投げて, 6の約数が出たとき,
点Pはx軸の正の方向に2だけ進み, 6の約数でない目が出たと
き,点Pはx軸の負の方向に1だけ進むことにする。
さいころを4回投げたとき, 原点から出発した点Pが次の点に
ある確率を求めよ。
(1) x=2
(2)
x=-1
(3) 原点
◆解答例 2
準備:6の約数は1, 2, 3, 6の四通りだから
4 2
6の約数の目が出る確率は
6
3
2
1
6 3
6の約数の目が出ない確率は
4回のうち,6の約数の目が回出たとすると,点Pの座標
は
2xr+(-1)×(4-r)=3r-4
(1) 3r-4=2よりr=2
よって求める確率は反復試行の確率の公式より
2
4 2
(2) 3r-4=-1よりr=1
=
4×322
8
-X- =
2×134 27
よって求める確率は反復試行の確率の公式より
(3) 3r-4=0よりr=
3
4
2 8
= =4x- =
34
81
rは整数だからr=-となることはありえない。
3
0…答

ページ12:

演習問題 3 <<
図のように,縦の長さが1, 横の長さが2
の長方形ABCD がある。
A
2
D
1枚の硬貨を投げて, 表なら2, 裏なら1
だけ時計回りに辺上を動く点Pがある。 頂点
Aを出発点として,次の確率を求めよ。
B
(1) 硬貨を5回投げた結果,点Pが頂点Aにある確率。
(2) 硬貨を7回投げた結果、点Pが頂点Aにある確率。
0
◆解答例 3
1
準備:硬貨を投げた時, 表が出る確率は
裏が出る確率も
2
2
(1) 硬貨を5回投げた時、表が回出たとすると、点Pがある位置は
2xr+1x(5-r)=r+5…①
硬貨を5回投げた時, 点Pが動く道のりの最大は10だから,
点PがAの位置にあるのは①が6のときだけであるので
r+5=6
∴.r=1
よって,反復試行の確率の公式より
1
5
=
=5x =
25 32
(2) 硬貨を7回投げた時, 表が回出たとすると, 点Pがある位置は
2xr+1×(7-r) =r+7…②
硬貨を7回投げた時、点Pが動く道のりの最大は14だから,
点PがAの位置にあるのは②が6のときと12のときの二通り
ある。
.
②が6のとき
r+7=6 ∴r=-1
rは整数だから不適
:.r=5
・②が12のとき
r+7=12
反復試行の確率の公式より
1
12 7x6 1 21
=
×
2×1 2' 128
kk
1