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2023年1月進研高1模試
♡ 2次関数 ♡
3
2つの2次関数
f(x) = 2x2+2kx+k
g(x)=x^-x-k2 + k
がある。ただし, kは定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をk を用いて表せ。
(2)2次不等式(x) < 0 を解け。
(3)k </12 とする。g(x) < 0 を満たすk の範囲において, y = f(x)
2
のグラフがx軸と異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ。
(配点 20)

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2次関数 プチ解説
(1) f(x) を平方完成すると
y=f(x)
=2(x2 + kx) + k
数合わせ
2+k
= 2{ x² + kx + (²)²} −2· (²)² +/
k
k2
2
=2(x+
+k
頂点(
--
2
2
-
k2
+k)

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(2) g(x)=x^-x-k2+k=0とし, 左辺を因数分解すると
x2-x-k(k-1)=0
(x-k)(x+k-1)=0
x=k, x=-k + 1
たすき掛け
(3)の出だしがヒン
トになってるね
この2つの解の大小関係がわからないので場合分けします。
ア)k < -k + 1 すなわち k <
1
2
のとき
(x-k)(x+k-1) <0より k < x < -k + 1
イ)k = -k + 1 すなわちk
=
のとき
2
g(x) = (x-
(x-1)であり,これはつねに0 以上で負に
なることはないのでg(x) <0を満たす解はない。
ウ)k> -k +1 すなわちk > のとき
(x-k)(x+k-1) <0より -k+1 <x<k
以上より
k< 1/2 のときk<x<-k+1
2
•
k>-のとき-k+1 <x<k
チョイムズ

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(3)k<1/2より g(x)=0を満たす解は |k <x<-k+1
ここでちょっとお絵かきしてみます
f(k)>0
②軸がと
-k+1の間
1
-k+1
f(-k+1)> 0
①より×2+k<0
2
①頂点のy
座標が負
+k<0 ⇒ k(k-2)>0 ⇒ k < 0, 2 <k
②より k <--
k<-12k<-k+1
⇒ k<0 2,
③より f(k)=2k2 + 2k2+k>0 ⇒ k(4k + 1)>0
⇒
4'
0<k
,
④より f(-k + 1) = 2(-k + 1) + 2k(−k + 1) + k > 0
⇒> 2k2-4k +2 -2k2+2k+k> 0
⇒>> k < 2 ・・・4
数直線にお絵かきして(簡単だから略すけど)
と①と②と③と④をすべて満たす範囲をさがすと
k < .
4