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梯形的基本性質(S-8-11)
-
·
梯形
(一)梯形的定義:1組平行但不等長的對邊的四邊形,稱為梯形。
1. 梯形的1組平行對邊,分別稱為上底(邊)及下底(邊)。
2. 梯形的1組不平行對邊則稱為腰(邊)。
3. 腰邊與下底邊形成的夾角,稱為底角。
4. 右圖梯形ABCD,AB//DD,AB為上底,DC為下底;AD及BC
為兩腰;∠C及∠D為底角。
(二)梯形基本性質
1. 梯形的對角線幾何性質
D
A
B
(1)梯形的2條對角線可將梯形分成4個三角形,其中以梯形的腰邊為邊長的2個三角形,其
面積相同。
A
B
已知:梯形ABCD,AB//DC,AC、BD為對角線。
(證明)
△ ACD面積=△ BDC面積(同底等高)
Th
E
因此△ ACD面積-△ CDE面積=△ BDC面積- △ CDE面積
得△ AED面積=△ BEC面積
2. 梯形兩腰的中點連線段
(1)梯形兩腰的中點連線段,會平行上底及下底。
phy
D
A
已知:梯形ABCD,AB//DC,E點、F點分別為AD、BC的中點。
E
(證明)
做過F點並平行AD的線,與CD交於H點,與AB延伸線交於G點
A. : AG//DC,AD//GH
D
∴四邊形AGHD為平行四邊形,AD = GH
B. 在△ BFG與△ CFH中:
,
A
B
BF = CF,∠FBG=∠FCH(內錯角),∠BFG=∠CFH(對頂角)
∴△ BFG ≅△ CFH (ASA全等性質)
E
可得GF = HF,即F點為GH的中點
C. 四邊形AGHD為平行四邊形,AD//GH且AD = GH
D
H
C
∴ AD = - GH
EPAE = GF
可得四邊形AGFE為平行四邊形
AG//EF
綜合以上得AG//EF//DH,即AB//EF//DC,亦即梯形兩腰的中點連線,平行上底及下底
(2)梯形兩腰的中點連線段,其長度為 (上底+下底)。
已知:梯形ABCD,AB//DC,E點、F點分別為AD、BC的中點。
(證明)
做過F點並平行AD的線,與CD交於H點,與AB延伸線交於G點
A. : AG//DC,AD//GH
∴四邊形AGHD為平行四邊形,AG = DH
B. 在△BFG與△CFH中,
,
BF = CF,∠FBG=<FCH(內錯角),∠BFG=∠CFH(對頂角)
1
K. C. 國中數學(二年級)

ページ2:

∴△ BFG ≅△ CFH (ASA全等性質)
可得GF = HF(即F點為GH的中點),BG = CH
C. 四邊形AGHD為平行四邊形,AD//GH且AD = GH
A
品
2
• AD = - GH
AE = GF
2
可得四邊形AGFE為平行四邊形
AG//EF,AG = EF
綜合以上得AG = DH = EF
因此2EF= AG+DH
2EF = (AB + BG) + DH
: BG = HC
∴ 2EF = AB + HC + DH
2EF = AB + DC
E
D
H
C
EF = (AB + DC),即梯形兩腰的中點連線,其長度為ㄒㄧㄢ(上底+下底)
二、等腰梯形
(一)等腰梯形的定義:兩腰等長的梯形,稱為等腰梯形。
(二)等腰梯形基本性質
1. 等腰梯形的內角幾何性質
(1)等腰梯形的2底角相等。
phy
D
已知:等腰梯形ABCD,AB//DC,AD = BC。
(證明)
做過B點平行AD的線,與CD交於E點,
因為AB//DE,AD//BE,所以四邊形ABED為平行四邊形
已知AD = BC,所以BE=BC,
△BCE為等腰三角形,∠BEC = ∠C
又AD//BE,因此∠D=∠BEC(同位角相等)
B
故可得∠D = ∠C,即等腰梯形2底角相等
2. 等腰梯形的邊幾何性質
(1)等腰梯形上底的中垂線必通過下底的中點。(即2底中垂線為等
A
M
B
腰梯形的對稱軸,等腰梯形為線對稱圖形)
已知:等腰梯形ABCD,AB//DC,AD = BC,直線L為AB的中垂
線,與AB、DC分別交於M點及N點。
D
IN
C
(證明)
A. 做過A點及B點垂直AB的線,分別與CD交於P點及Q點
: AB//DC,AP⊥AB,BQLAB
∴AP⊥DC,BQDC,所以四邊形ABQP為矩形
AP = BQ
B. 在△ADP與△ BCQ中
"
: AD = BC,AP = BQ,∠APD = ∠BQC = 90°
∴△ ADP ≅△ BCQ(RHS全等性質)
可得DP = CQ
C.直線L為AB的中垂線,即MN⊥AB,且AB//DC
.. MN1DC
可得四邊形AMNP及BMNQ皆為矩形,AM = PN,BM = QN
又AM = BM(中垂線L平分AB)
2
L
A
M
B
Π
|
D
P
IN
C
K. C. 國中數學(二年級)

ページ3:

∴ PN = QN
綜合 B. 及 C. 可得DN=CN,即等腰梯形上底的中垂線必通過下底的中點
3. 等腰梯形的對角線幾何性質
(1)等腰梯形的2條對角線等長。
A. 等腰梯形ABCD的對角線AC、BD,AC= BD。
B. 證明等腰梯形的2條對角線等長。
已知:等腰梯形ABCD,AB//DC,AD = BC,AC、BD為對
角線並交於點E。
(證明)四邊形ABCD為等腰梯形,所以∠ADC = ∠BCD
在△ADC與△ BCD中,
D
: AD = BC,DC = CD (共用邊),∠ADC = ∠BCD
∴△ ADC≅△ BCD(SAS全等性質)
可得AC = BD,即等腰梯形的2條對角線等長
(2)梯形的2條對角線可將梯形分成4個三角形,其中以梯形的腰邊為邊長的2個三角形為全
等三角形。
已知:等腰梯形ABCD,AB//DC,AD = BC,AC、BD為對角線並交於點E。
(證明)四邊形ABCD為等腰梯形,所以∠ADC = ∠BCD
A. 在△ADC與△ BCD中,
: AD = BC,DC =CD(共用邊),∠ADC = ∠BCD
∴ △ ADC ≅△ BCD (SAS全等性質)
可得AC = BD,∠ACD=∠BDC,∠DAC=∠CBD
B. 在△ADE與△BCE中
,
(對顶角)
: AD = BC,∠DAE =∠CBE,∠AED=∠BEC(對頂角)
∴△ ADE ≅△ BCE(AAS全等性質)
所以以梯形的腰邊為邊長的2個三角形為全等三角形,AE=BE,DE = CE。
4. 梯形兩腰的中點連線段
(1)梯形兩腰的中點連線段,會平行上底及下底。(同梯形)
(2)梯形兩腰的中點連線段,其長度為5 (上底+下底)。(同梯形)
(三)等腰梯形的判定方式
1.2底角相等的梯形,即為等腰梯形。
已知:梯形ABCD,AB//DC,∠D = ∠C
(證明)
做過B點平行AD的線,與CD交於E點,
(1)因為AB//DE,AD//BE, 所以四邊形ABED為平行四邊形
AD = BE
(2)因為∠D = ∠BEC(同位角相等),且∠D=∠C
可得∠BEC = ∠C
所以△BCE為等腰三角形,BE = BC
綜合(1)及(2)可得AD=BC,即2底角相等的梯形為等腰梯形
C
D
E
3
K. C. 國中數學(二年級)

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三、各種四邊形的幾何性質比較
四邊形
2 組對邊平行
對邊不平行
1組對邊平行
幾何性質 | 平行四邊形 長方形 正方形菱形
箏形
梯形
等腰梯形
對角相等
V
V
V
V
僅1對角相等
角 鄰角互補
V
V
V
V
僅與1鄰角互補 僅與1鄰角互補
「內角皆直角
V
V
四邊等長
V
V
邊 對
對邊平行
V
V
V
V
對邊等長
V
V
V
V
「僅1組對邊平行 僅1組對邊平行
僅1組對邊等長
鄰邊等長
V
V
「僅與1鄰邊等長
等長
V
V
V
角 互相平分
V
V
V
V
線 互相垂直
V
V
V
線對稱圖形
V
V
V
V
V
點對稱圖形
V
V
V
V
補充資料:凸四邊形的對角線交點,到4個頂點的距離和最短。
例如四邊形ABCD,其對角線為AC、BD並交於點E,點E到點A、點B、點C、點D的距離和(AE+BE +
CE+DE)最短。點E以外各點(例如圖中的點F)到4個頂點的距離和(AF+BF+CF+DF),大於點E
到4個頂點的距離和。(利用三角形二邊和大於第三邊之邊長關係證之)
D
B
Levin Map
4
K. C. 國中數學(二年級)