ページ1:

P4、独立な試行と確率
Date
どの試行の結果も他の試行の結果の影響を与えない
試行を独立という。
独立な試行の確率
2つの試行SとTが独立であるとき、Sで事象Aが起こり
かつ丁で事象Bが起こる確率は
P=P(A) XP(B)
サイコロを投げる時
A「Iの目が出る」
B「1以外の目が出る」
これらが同時に起こる確率は
P = 1x5 = 5
P=1/2x
例1枚のコインとサイコロを投げるとき
「コインは表、サイコロは5以上の目が出る確率
6
タコのサイコロを3回続けて投げるとき
3回とも1以外の目が出る確率
125
3×66-216
①②③
少なくとも1回は1の目が出る確率
125
91
+
216
216

ページ2:

Date
Aの袋には赤玉3コ、白玉2コ
Bの袋には赤玉2コ、白玉4コ入っている
A・Bの袋から1つずつとり出すとき、
(1)ともに赤玉をとり出す確率
2 T
5
025
(2)同じ色の玉をとり出す確率
2.4.4
56315
同じ色の玉をとり出す確率
ともに赤玉ともに白玉
T
4+3.2
15 5
15
15
ともに赤玉をとり出す確率は(1)より
6
-
30
ともに白玉をとり出す確率は
=
8
*6 30
よって同じ色の色を取り出す確率は
6
8
14
30
30
30
15
PA 反復試行の確率
1つのさいころを3回続けて投げるとき
6の目がちょうど1回出る確率
1回目
2回目
X
言
x{
3C1
5
-X
6
○
x2
952
X
6
xx
96
25
3通りの
216
中から
75-25
216
72
189

ページ3:

復試行の確立
1回の事象Aの起こる確立をPとする
この試行を1回行う反復試行で
Aがちょうどと回起こる確率は
nCr ×(p) (1-P)n=
例 マイの硬貨を5回投げて、表がちょうどる回出る確率
n
表が出る確率 [P=1/2
よって5C2×
2×(1/2)^(1-2)3
5x4
S
16
練習 47
4C3(1)(2)
(2) 4C2(2)(
7679
X
36x6x6
34
42 34×7 2x2' 24×42
X-
2x163 3xx 3
8
=
27
例 赤玉 2コ 白玉3つの入った袋から玉をねっとり取し
色をみてからもとに戻す、これを4回行い赤玉3回以上出る確率
①赤玉が3回出る確②赤玉が4回出る確率
①
赤玉が出る確率
2
5
4C3(1)
4x
2404
:(号):625
16
96
96
16
112
よって
625
625
625
24×(1)(2)623

ページ4:

Date
数直線上を動く点Pが原点の位置にある。
1枚のコインを投げて表が出たらPを正の向きに進め
ウラが出たらPを負の向きにしたけ進める
コインを6回投げてPが原点に戻っている確率
ド
コインを投げて表が出る
ウラが出る回数は(6-1)
L
2
表が出る回数を♪とする
とす
2r進む
-(6-1)進む
原点に戻るのは
2r-(6-1)=0となる
2r6tr=0
35=6
r=2
よって原点に戻るには2回表が出ればよい
602
(1/2)^(1/2)+
65×1/2×/×1/2×/×/×2/2
2×1
=15
64
2r-3(5-r)=0
2r-15+3r
=1
5r=15
xr=3
練習49
5C3(2)(3)
BX2x1
16
-x/x/x/x/

ページ5:

条件付き確率
1つの試行における2つの事象ABについて
事象Aが起ったとして、そのときに事象Bが起こる確率を
Aが起こったときのBが起こる条件付き確率といい
PA(B)で表す.
白玉ちの袋から玉を1つずつ、2つ取り出すとき
1つめに赤玉が出たときに、2コ目に白玉が出る確率
ただし取り出した玉を戻さない
1つ目に赤玉が出る事象をA
2丁目に白玉が出る事象をB
PA(B) 5
23 +5
当たりくじ4本を含む10本のくじをA、Bがこの順に
1本ずつ引く。ただし、引いたくじは戻さないこのときA、Bの2人
とも当たる確率
Aが当たる事象
ABが当たる事象をB
2
PA(B)== 1/35
赤玉5つ白玉4コ入った袋から、玉を取り出して元に戻さず
もう1つ取り出すとき
(1)1回目赤玉を取り出したとき2回目も赤玉が出る確率
総数 9-1、赤玉 5-1 この条件のもと玉を取り出すときの試行
回目赤玉を取り出す試行をA、2回目に赤を取り出す試行をB
PA(B)=1/2=1/2
(2)1回目白玉を取り出したとき2回目に赤玉が出る確率
総数9-1,白玉4-1 この条件における試行
5
PA (B)
PA(B):P(AGB)
P(A)
事後確率
事前確率

ページ6:

Date
P(ANB)- SAS
同時確率
18218
P(A)=1/ P(B)=1/2/31/20
5.5.5x9
(2)PA(B)= P(Ane)
PA(B) = 18 9 18 5
52
5.4.24
9-5
P(A)
189
189
184
8
練習 50
(1)PA(B)=3
(2)PA(B)
8
8
例15当たり3本を含む合計10本のくじをABの2人がこの順
に1人ずつ引くとき、このときBが当たる確率
(1)Aが当たってBが当たる (ii)Aがハズして、Bが当たる
3
-6
10990
(1)(ⅱ)を合わせて
6.21
90
27
3.
90 90
10
21
※
=
90

ページ7:

Date
P104
約数と倍数
整数 正の整数 すなわち自然数と負の整数からなる数
-3,-2,-1.01.2.3
ある数kを用いて
a=bk と表されるとき
baの約数、aはbの倍数という
(例 (1) 6の約数は1,2±2、さ、さ
1,2,3.6(-1)(-2) (-3)(6)の8コの整数
(2)3の倍数は
-9.-6.-3.0.36.9…のような整数
倍数の判定法
2の倍数・・・の位が0.2,4,6,8 のいずれか
5の倍数の位が0.5のいずれか
3の倍数…各位の和が3の倍数である
9の倍数 各位の和が9の倍数である。
素数 : 2以上の自然数で正の約数が1とその数自身のみ
である数
合成数:2以上の数で素数でない数
本数
例 15:3.560=3・4・5
因数
練4 素因数分解
(1) 144
=21144
2272
236
2118
319
(2)180
2)180
=22.32.5
2190
5/45
329
3
=24.32

ページ8:

Date
例「60mが自然数になるような最小の自然数nを求めよ
60=22-35
2160
230
3/15
2°3.5となるようないを求める
5 最の自然数n=3×5=15m
練習5
168m 2/168 23×3×7
2284
2×3×7=42
2/42
3/21
n=42
7
⑤ 200の正の約数をすべて求めよ
200=23.52
よって200の正の数
20×5°=12×5'=520×5²=25
21×5%=22×5'=102×53=50
・22×5°=42×5'=2022×53-100
23×5°=82'×5=4023×5'=200
よって約数は1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200
例 75の正の約数の個数を求めよ
自然数Nが素因数分解でN=pa.go.rとなるとき
Nの正の約数の個数は(a+1)(b+1)(C+1)
5/75 75=3'×52
=2×3
5/15
よって (1+1)(2+1)
3
= 6
よって正の約数は6コ
Rilakkuma

ページ9:

・最大公約数 最小公約数
最大公約数:共通する素数における指数の小さい方の積
24=23×3
180=2x3x5
最大公約数
22X3-12
最小公倍数:因数にもつ素数で、指数の大きい方の積
24=2303
180=23050
最小数
123×32×5=360円
例3 24 90の最大公約数と最小公倍数
24=23×3
90=2×3×5
最大公約数
2×3=6
最小公倍数
23×33×5=8.9.5=360
nは正の整数とすると12の最小公倍数が180であるようないを全て求め
n=2x3x5
12:29×13
180= 22× 32
×5
よって2×3×5
7=2×32×5
n=20×32×5=45
n=2×32×5=90
n=2×3×5=120
-490, 180,
練1nは正の整数とすると18の最小公倍数が180であるような
を全て求めよ
18=2×3
n=2×338×5
180=2°×3×5
n = 22. 3° -5
よって
n=23.5
n = 20, 60, 180
n=23.32.5

ページ10:

Date
◎互いに素
2つの整数a,bの最大公約数が1であるとき
a.bは互いに素であるという
例15=3.5
28=27
15と28は互に素
abcは整数で、a,bは互いに素であるとする。
lacがbの倍数であるとき、Cはbの倍数である。
2:maの倍数であり、bの倍数でもある整数はabの倍数である
216 互いに素であるかしらべよ
6=2×311=1 26-13)x2
(1) 611
(2) 26と39
39×13×3
互いに素である
互いに素ではない。
整数の割り算
整数と正の整数bについて
a=bg+r
(0 ≤846)
となる整数 9,rは1通りに定まる
100を3で割ると南33.余り1
100=3×33+1.
例 a,bは整数とする。αを7で割ると余り5-
bを7で割ると4余る。 次の数を7で割った余りを求めよ
(1) a+b
a=7m+5
2
b=7.+4
a+b=(7m5)+(7n+4)
=(7m+7n-9)7+2
=7(m+n+1)+2
よってa+bを7で割ると余りは2.

ページ11:

Date
(2)ab=(7m+5)(7-4)
=149mn+28m+35+20)
=7(7m²+4m+5+2 +6
よってabを7で割ると余り6m
◎a+bをりで割った余り
11
ひの余りとBの余りを足して7で割った余
abを7で割った余り
aの剣×BO余りを7で割った余り

ページ12:

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ページ13:

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ページ14:

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